7 ponumerowanych kul w 5 komórkach

[Beznadziejny matematyk]

Oblicz na ile sposobów można rozmieścić 7 ponumerowanych kul w 5 komórkach o numerach 1,2,3,4,5 tak aby dokładnie 3 komórki były zajęte.

Wymyśliłem żeby zrobić to \({5 \choose 3}\) * \({7 \choose 2}\) + \({7 \choose 3}\) + \({7 \choose 4}\) +
\({7 \choose 5}\) + \({7 \choose 6}\) + 7

Ale mógłby mi ktoś konkretnie wyjaśnić dlaczego tak, albo właśnie nie tak?
I dlaczego \({5 \choose 3}\) * 7 * 6 *5 jest błędną odpowiedzią?

[radagast]

Może tak:\({ 5\choose 3} \cdot \left[3^7- {3 \choose 2} \cdot 2^7- {3 \choose 1} \cdot 1^7 \right]= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6} \left[ 2187- 3 \cdot 128-3 \right] =10 \cdot1800=18000\)
najpierw wybieram 3 komórki, do których będą wrzucone kule \(\left( {5 \choose 3 }\ sposobów \right)\)
następnie każdej z 7 kul przyporządkowuję numer jednej z trzech wybranych komórek \(\left( 3^7 \ sposobów \right)\)
ale odejmuję te przyporządkowania, które zakładają pustą jedną lub dwie komórki \(\left({3 \choose 2} \cdot 2^7+ {3 \choose 1} \cdot 1^7 \ sposobów \right)\).
Twoje obliczenia są błędne. Jeśli mi wytłumaczysz dlaczego tak liczysz, to powiem Ci gdzie tkwi błąd. Jeśli uważasz , że moje rachunki są błędne lub niezrozumiałe, to też to napisz. Spróbuję Cię do nich przekonać.

[kerajs]

Może tak:\({ 5\choose 3} \cdot \left[3^7- {3 \choose 2} \cdot 2^7- {3 \choose 1} \cdot 1^7 \right]=...\)

Wprowadziłbym małą poprawkę dopisując jedną kreseczkę:
\({ 5\choose 3} \cdot \left[3^7- {3 \choose 2} \cdot 2^7+ {3 \choose 1} \cdot 1^7 \right]=...\)

[radagast]

Nie potrzebna. Trzeba odjąć te, które mają dwie puste komórki (jest ich \({3 \choose 1} \cdot 1^7\) -wszystkie kule wpadają do jednej komórki) oraz te które mają jedną pustą komórkę (jest ich \({3 \choose 2} \cdot 2^7\)-wszystkie kule wpadają do dwóch komórek)

[kerajs]

Załóżmy że wybrano trzy konkretne komórki .
Człon \(3^7\) daje trzy sytuacje w których zajęta jest tylko 1 komórka. Od tej liczby odejmujesz \({ 3\choose 2}2^7\) co sprawia że pozbyłaś się zdarzeń w których dokładnie dwie komórki były zajęte. Odejmujesz także sytuacje w których zajęta jest tylko 1 komórka. Ale ile ich odjęłaś? Każdy z trzech członów \(2^7\) generuje dwa takie zdarzenia, więc odjęłaś ich sześć zamiast trzech. Należy więc dodać brakujące zdarzenia.

Można także do tego podejść z automatu stosując zasadę włączeń i wyłączeń.