Nierówność z wart. bezwględną i prawdopodobieństwo

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Nierówność z wart. bezwględną i prawdopodobieństwo

Post autor: swpt »

Ze zbioru wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność \(|2x + 4| – |x| < 10\) losujemy dwie liczby bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb jest dodatnia?

Nierówność rozbiłam na 3 przypadki:
1) \(x<-2\)
2) \(x \in <-2, 0)\)
3) \(x \ge 0\)
Częścią wspólną jest przedział \(x \in (-14, 2)\), więc zbiór z którego będziemy losować to {-13, -12, ..., 1}.

\(\Omega\) - losujemy dwie liczby bez zwracania
\(| \Omega | = 15\cdot 14 = 210\)
\(A\) - suma wylosowanych liczb jest dodatnia

Suma dwóch ujemnych liczb da liczbę dodatnią lub suma dwóch dodatnich. Jest 13 ujemnych liczb i dwie dodatnie, zatem czy moc zbioru A będzie wynosić \({13\choose 2}+1\)?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Suma dwóch ujemnych daje UJEMNĄ! Pomyliło ci się z mnożeniem.
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Post autor: swpt »

Aj, faktycznie! W takim razie należy wylosować tylko 0 i 1? Prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie wynosiło \(\frac{1}{210}\)?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

(0,1) albo (1,0) - no nie?
Chyba źle rozwiązana jest ta nierówność.
  • Jeśli x=3, to |6+4|-|3|=7<10, czyli x=3 spełnia nierówność. Wg twojego rozwiązania nie powinna.
Podejrzenia nabrałem, bo to zbyt proste zadanie by było, gdyby twoje rozwiązanie nierówności było OK.

Sprawdź. Powinno być -14<x<6
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Re:

Post autor: swpt »

panb pisze:(0,1) albo (1,0) - no nie?
Fakt, zapomniałam o tych dwóch możliwościach.
Sprawdź. Powinno być -14<x<6
W pierwszym przypadku wyszło mi x>-14, więc ok. Drugi przypadek rozpisałam tak:
\(x \in <-2;0)\)
\(2x+4-(-x)<10\)
\(x<2\)

Trzeci przypadek:
\(x \in <0;+ \infty )\)
\(2x+4-x<10\)
\(x<6\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

No i ponieważ liczby rzeczywiste są SUMĄ przedziałów składowych, to zbiór będący rozwiązaniem jest SUMĄ cząstkowych rozwiązań.
Rozwiązania cząstkowe to:
1. (-14,-2)
2. <-2,0)
3. <0.6)
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Post autor: swpt »

Aa, myślałam, że będzie tak jak przy rozwiązywaniu nierówności, gdzie ostatecznym wynikiem jest część wspólna.

Więc:
\(| \Omega |=19\cdot18\)
\(|A|= {6\choose 2}=15\)

\(P(A)= \frac{5}{114}\) ?
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Nie. Inaczej opisujesz zbiór \(\Omega\), a inaczej zbiór zdarzeń sprzyjających.
Popatrz na to tak.
Sprzyjający rezultat dadzą pary liczb wylosowane (be zwracania, rzecz jasna) ze zbioru {0,1,2,3,4,5}.
Ile jest takich par (ale licz tak jak przy zbiorze \(\Omega\)!)?
swpt
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2018, 21:03
Podziękowania: 5 razy

Post autor: swpt »

\(|A|=6\cdot5=30\)

No tak, zrobiłam ten sam błąd, co wcześniej biorąc pod uwagę tylko jedno zdarzenie (0,1)...

\(P(A)=\frac{5}{57}\) ?
ODPOWIEDZ