kostka i urny

[kate84]

1.
Tomek wylosował trzy liczby ze zbioru A = {x : x \(\in\) C ∧ │x│ ≤ 4}. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie liczby wylosowane przez Tomka są pierwiastkami równania \(x^3 – 2x^2 – 9x +18 = 0\),
b) co najmniej jedna liczba wylosowana przez Tomka jest pierwiastkiem równania \(x^3 –2x^2 – 9x + 18 = 0\)?

Pierwiastki równania mi wyszły 3,-3,2. Natomiast rozwiazanie nierównosci \(x \in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\)

2.
Z cyfr 1, 2, 4, 6, które są zapisane na oddzielnych kartonikach, losujemy trzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że można z nich wszystkich utworzyć liczbę podzielną przez trzy,
jeżeli:
a) losujemy bez zwracania,
b) po wylosowaniu kartonika i zapisaniu cyfry, wrzucamy z powrotem kartonik do
pojemnika?

3.
Tomek przygotował kartoniki ze wszystkimi liczbami dwucyfrowymi podzielnymi przez
cztery ( na każdym kartoniku zapisał jedną liczbę). Kartoniki wrzucił do pojemnika. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że na wylosowanym jednym kartoniku będzie zapisana liczba:
a) z cyfrą jedności cztery,
b) z cyfrą dziesiątek cztery,
c) z takimi samymi cyframi,
d) równocześnie podzielna przez pięć?
4.
Dany jest zbiór wszystkich liczb dwucyfrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując
równocześnie dwie liczby wylosujesz:
a) liczby pierwsze,
b) liczby podzielne przez trzy,
c) liczby podzielne przez trzy lub cztery,
d) liczby podzielne przez trzy i przez cztery?
5.
W pojemniku jest dziewięć kul z cyframi od 1 do 9. Losujemy jedną kulę, zapisujemy cyfrę,
wkładamy kulę do pojemnika i losujemy kolejną kulę. Otrzymujemy w ten sposób liczbę
dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby:
a) parzystej,
b) podzielnej przez trzy,
c) podzielnej przez pięć,
d) podzielnej przez piętnaście.
6.
Dwukrotnie rzucamy sześcienną kostką. W pierwszym rzucie otrzymujemy cyfrę dziesiątek
liczby dwucyfrowej, a w drugim cyfrę jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
otrzymana w ten sposób liczba jest:
a) podzielna przez trzy,
b) podzielna przez cztery,
c) podzielna przez pięć,
d) liczbą pierwszą?

[eresh]

1.
Tomek wylosował trzy liczby ze zbioru A = {x : x \(\in\) C ∧ │x│ ≤ 4}. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie liczby wylosowane przez Tomka są pierwiastkami równania \(x^3 – 2x^2 – 9x +18 = 0\),
b) co najmniej jedna liczba wylosowana przez Tomka jest pierwiastkiem równania \(x^3 –2x^2 – 9x + 18 = 0\)?

Pierwiastki równania mi wyszły 3,-3,2. Natomiast rozwiazanie nierównosci \(x \in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}\)

\(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\)

a)
\(P(B)=\frac{1}{{9\choose 3}}\)

b)
\(P(C )=1-\frac{6\choose 3}{9\choose 3}\)

[eresh]

2.
Z cyfr 1, 2, 4, 6, które są zapisane na oddzielnych kartonikach, losujemy trzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że można z nich wszystkich utworzyć liczbę podzielną przez trzy,
jeżeli:
a) losujemy bez zwracania,
b) po wylosowaniu kartonika i zapisaniu cyfry, wrzucamy z powrotem kartonik do
pojemnika?

\(A=\{12,21,24,46\}
P(A)=\frac{4}{4\cdot 3}\\
B=\{12,21,24,42,66\}\\
P(B)=\frac{5}{4\cdot 4}\)

[eresh]

3.
Tomek przygotował kartoniki ze wszystkimi liczbami dwucyfrowymi podzielnymi przez
cztery ( na każdym kartoniku zapisał jedną liczbę). Kartoniki wrzucił do pojemnika. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że na wylosowanym jednym kartoniku będzie zapisana liczba:
a) z cyfrą jedności cztery,
b) z cyfrą dziesiątek cztery,
c) z takimi samymi cyframi,
d) równocześnie podzielna przez pięć?

\(\overline{\overline{\Omega}}=22\\
A=\{24,44,64,84\}\\
P(A)=\frac{4}{22}\\
B=\{40,44,48\}\\
P(B)=\frac{3}{22}\\
C=\{44,88\}\\
P(C )=\frac{2}{22}\\
D=\{2040,60,80\}\\
P(D)=\frac{4}{22}\)

[eresh]

4.
Dany jest zbiór wszystkich liczb dwucyfrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losując
równocześnie dwie liczby wylosujesz:
a) liczby pierwsze,
b) liczby podzielne przez trzy,
c) liczby podzielne przez trzy lub cztery,
d) liczby podzielne przez trzy i przez cztery?

\(\overline{\overline{\Omega}}=90\\
A=\{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\}\\
P(A)=\frac{21}{90}\\\)

b)
\(12,15,...,99\\
99=12+(n-1)\cdot 3\\
n=30\\
P(B)=\frac{30}{90}\)

c) podzielne przez 3: 30
podzielne przez 4:
\(12,16,...96\\
96=12+(m-1)\cdot 4\\
m=22\)

podzielne przez 3 i przez 4:
12,24,36,48,60,72,84,96

\(P(C)=\frac{30+22-8}{90}\)
\(P(D)=\frac{8}{90}\)

[eresh]

5.
W pojemniku jest dziewięć kul z cyframi od 1 do 9. Losujemy jedną kulę, zapisujemy cyfrę,
wkładamy kulę do pojemnika i losujemy kolejną kulę. Otrzymujemy w ten sposób liczbę
dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby:
a) parzystej,
b) podzielnej przez trzy,
c) podzielnej przez pięć,
d) podzielnej przez piętnaście.

\(P(A)=\frac{9\cdot 4}{9\cdot 9}\\
B=\{12,15,...99\}
P(B)=\frac{30}{9\cdot 9}\\
C=\{15,20,25,...95\}\\
P(C)=\frac{17}{81}\\
D=\{15,30,45,60,75,90\}\\
P(D)=\frac{6}{81}\)

[eresh]

6.
Dwukrotnie rzucamy sześcienną kostką. W pierwszym rzucie otrzymujemy cyfrę dziesiątek
liczby dwucyfrowej, a w drugim cyfrę jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
otrzymana w ten sposób liczba jest:
a) podzielna przez trzy,
b) podzielna przez cztery,
c) podzielna przez pięć,
d) liczbą pierwszą?

\(A=\{12,15,21,24,33,36,42,45,51,54,63,66\}\\
P(A)=\frac{12}{36}\\
B={12,16,24,32,36,44,52,56,64\}\\
P(B)=\frac{9}{36}\\
C=\{15,25,35,45,55,65\}\\
P(C )=\frac{6}{36}\\
D=\{11,13,23,31,41,43,53,61\}\\
P(D)=\frac{8}{36}\)