prawdopodobeństwo

[kate84]

1.
Dziecko wrzuca osiem klocków do trzech pojemników. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia:
a) A – jeden pojemnik jest pusty,
b) B – żaden pojemnik nie jest pusty?
2.
Tomek rzuca sześciokrotnie symetryczną monetą. Oblicz, z jakim prawdopodobieństwem
zajdą zdarzenia:
a) A – Tomek wyrzucił dokładnie dwa razy orła,
b) B – Tomek wyrzucił co najmniej raz orła,
c) C – Tomek wyrzucił co najmniej dwa razy orła,
d) D – Tomek wyrzucił dokładnie cztery razy orła.
3.
W pojemniku są kartoniki z zapisanymi liczbami od 1 do 20 (po jednej liczbie na każdym
kartoniku). Z pojemnika losujemy bez zwracania dwa kartoniki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczby na nich są zapisane bokami prostokąta o polu:
a) mniejszym od 10,
b) równym 60,
c) równym 80,
d) większym od 250?
4.
W pojemniku jest n kostek, w tym 6 kostek czerwonych. Pozostałe kostki są zielone.
Wyciągamy dwie kostki. Jaka może być największa liczba wszystkich kostek w pojemniku,
aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kostek czerwonych było większe od 0,25?
5.
W pojemniku jest n losów, w tym 10 losów wygrywających. Pozostałe losy są puste.
Losujemy dwa losy. Jaka może być największa liczba losów przegrywających w pojemniku,
aby prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch losów wygrywających było
większe od 0,1?

[eresh]

1.
Dziecko wrzuca osiem klocków do trzech pojemników. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia:
a) A – jeden pojemnik jest pusty,
b) B – żaden pojemnik nie jest pusty?

\(P(A)=\frac{{3\choose 1}(2^8-2)}{3^8}\\
P(B)=\frac{3^8-[{3\choose 1}\cdot (2^8-2)-3]}{3^8}\)

[eresh]

2
Tomek rzuca sześciokrotnie symetryczną monetą. Oblicz, z jakim prawdopodobieństwem
zajdą zdarzenia:
a) A – Tomek wyrzucił dokładnie dwa razy orła,
b) B – Tomek wyrzucił co najmniej raz orła,
c) C – Tomek wyrzucił co najmniej dwa razy orła,
d) D – Tomek wyrzucił dokładnie cztery razy orła.

\(P(A)=\frac{{6\choose 2}}{2^6}\\
P(B)=1-\frac{1}{2^6}\\
P(C )=1-\frac{1}{2^6}-\frac{6}{2^6}\\
P(D)=\frac{{6\choose 4}}{2^6}\)

[eresh]

3.
W pojemniku są kartoniki z zapisanymi liczbami od 1 do 20 (po jednej liczbie na każdym
kartoniku). Z pojemnika losujemy bez zwracania dwa kartoniki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczby na nich są zapisane bokami prostokąta o polu:
a) mniejszym od 10,
b) równym 60,
c) równym 80,
d) większym od 250?

\(A=\{12,13,14,15,16,17,18,19,23,24\}\\
P(A)=\frac{11}{{20\choose 2}}\)

\(B=\{310,415,512,610\}\\
P(A)=\frac{4}{{20\choose 2}}\)

\(C=\{420,516,810\}\\
P(C )=\frac{3}{{20\choose 2}}\)

\(D=\{2019,2018,2017,2016,2015,2014,2013,1918,1917,1916,1915,1914,1817,1816,1815,1814,1716,1715\}\\
P(D)=\frac{18}{{20\choose 2}}\)

[eresh]

4.
W pojemniku jest n kostek, w tym 6 kostek czerwonych. Pozostałe kostki są zielone.
Wyciągamy dwie kostki. Jaka może być największa liczba wszystkich kostek w pojemniku,
aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kostek czerwonych było większe od 0,25?

6 czerwonych
n-6 zielonych

\(P(A)>0,25\\
\frac{{6\choose 2}}{{n\choose 2}}>0,25\\
15>0,25\cdot\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2}\\
60>\frac{(n-2)!(n-1)n}{2(n-2)!}\\
\frac{n^2-n}{2}<60\\
n^2-n-120<0\\
n=11\)

[eresh]

5.
W pojemniku jest n losów, w tym 10 losów wygrywających. Pozostałe losy są puste.
Losujemy dwa losy. Jaka może być największa liczba losów przegrywających w pojemniku,
aby prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch losów wygrywających było
większe od 0,1?

10 wygrywających
n-10 pustych

\(P(A)>0,1\\
\frac{{10\choose 2}}{{n\choose 2}}>0,1\\
45>0,1\cdot\frac{n(n-1)}{2}\\
n^2-n<900\\
n=30\\\)
30-10=20 pustych losów

[kate84]

3.
W pojemniku są kartoniki z zapisanymi liczbami od 1 do 20 (po jednej liczbie na każdym
kartoniku). Z pojemnika losujemy bez zwracania dwa kartoniki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że liczby na nich są zapisane bokami prostokąta o polu:
a) mniejszym od 10,
b) równym 60,
c) równym 80,
d) większym od 250?

\(A=\{12,13,14,15,16,17,18,19,23,24\}\\
P(A)=\frac{11}{{20\choose 2}}\)

\(B=\{310,415,512,610\}\\
P(A)=\frac{4}{{20\choose 2}}\)

\(C=\{420,516,810\}\\
P(C )=\frac{3}{{20\choose 2}}\)

\(D=\{2019,2018,2017,2016,2015,2014,2013,1918,1917,1916,1915,1914,1817,1816,1815,1814,1716,1715\}\\
P(D)=\frac{18}{{20\choose 2}}\)

Skąd sie wzieły te zbiory A,B,C,D?

sprawdzałam po kolei które długości boków dadzą odpowiednie pola

[kate84]

A w zbiorze jest 10 a nie 11 elementow?