prawdopodobieństwo

[snowinska91]

Mając \(x_1,x_2,...\)- niezależne zm. losowe o rozkł. jednostajnym na \((0,2)\) i korzystająz z Tw. Centralnego obliczyć prawdop. zdarzenia, że \(x_1+..+x_{100} \le 40\)

[panb]

średnia rozkładu zmiennej \(E(X_i)= \mu=\frac{0+2}{2}=1\).
Wariancja \(D^2(X_i)=\sigma^2= \frac{(2-0)^2}{12}= \frac{1}{3} \So \sigma= \frac{1}{\sqrt3}\)

C.T.G mówi, że zmienna \(Z=\frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_1-\mu }{ \frac{\sigma}{\sqrt n} }\) ma rozkład N(0,1).

Tutaj \(Z= \frac{0,01 \sum_{i=1}^{100}X_i -1 }{ \frac{1}{10\sqrt3} }=0,1\sqrt3 \sum_{i=1}^{100} X_i-10\sqrt3\)

Dasz raę dalej?

[snowinska91]

nie bardzo:(

[panb]

Oznaczmy sumę \(\sum_{i=1}^{100}x_i =S\)
\(S\le 40 \iff 0,1\sqrt3 S\le 40 \cdot 0,1\sqrt3 \iff 0,1\sqrt3S\le 4\sqrt3 \iff 0,1\sqrt3S-10\sqrt3\le 4\sqrt3-10\sqrt3\)
Zatem \(S\le 40 \So Z\le -6\sqrt3\)

\(Z\sim N(0,1) \So P(x_1+x_2+\ldots +x_{100})\le 40\approx P(Z\le-10,39)=\Phi(-10,39)=0\)

[snowinska91]

a mam pytanie czemu na końcu liczymy dystrybuante ?:)

[panb]

Bo ona jest stablicowana.

[snowinska91]

A czy ten ostateczny wynik to on jest dokładnie 0? czy jest coś po przecinku? Bo próbuje to odczytać ale nie wiem czy to jest przybliżenie, gdyż odpowiedzi potrzebuje w procentach

[panb]

Też mnie dziwiło, że wynik jest zero, ale jak dodasz 100 liczb z przedziału [0,2], to szansa, że nie przekroczymy 40 jest niewielka. Tablice mówią, że wtedy zero bierzemy.

[snowinska91]

ok ale z jakich tablic odczytuje? dla rozkładu normalnego? bo jeśli tak to w moich tablicach pierwsza wartość w tabelce zaczyna się od 0,5 i mniejszych wartości nie ma, nawet 0

[panb]

\(\Phi(-10,39)=1-\Phi(10,39)\) - nie mówili jak korzystać z takich tablic?

[snowinska91]

no właśnie z tak wielkich nie i gdzie mogę znaleźć dla tak dużych liczb?

[panb]

Zajrzyj do twoich tablic (tych od 0,5) i zobacz, co piszą dla x=10,39

[snowinska91]

nie mam 10,39 w dół mam tylko do 2,9 a w prawo do 0,09

[snowinska91]

chyba,że mam patrzeć tylko na tą setną część ale też nie mam 39

[panb]

Bo dalej to już jest równe 1. Dla x=2,99 \(\,\,\,\Phi(2,99)=0,99997\).

Skoro dla 2,99 jest prawie 1, to dla 10.39 tych dziewiątek po przecinku będzie że ho ho albo i więcej.