kombinatoryka

[wajper10]

Ile jest sześciocyfrowych liczb naturalnych, w których liczba cyfr parzystych jest
równa liczbie cyfr nieparzystych?

[panb]

I przypadek:
na pierwszym miejscu stoi cyfra parzysta (oprócz zera) ................................................ 4 możliwości
z pozostałych 5 miejsc wybieramy 2, na których stawiamy dowolną parzystą cyfrę ........ \({5\choose 2 } \cdot 5 \cdot 5\) możliwości
na pozostałych trzech miejscach rozmieszczamy cyfry nieparzyste ............................. \(4 \cdot 4 \cdot 4\) możliwości

• RAZEM : \(4 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5\right) \cdot \left(4 \cdot 4 \cdot 4 \right) = \frac{1}{2} \cdot 4^5 \cdot 5^3\)

II przypadek:
na pierwszym miejscu stoi dowolna nieparzysta ............................................................ 4 możliwości
z pozostałych 5 miejsc wybieramy 2, na których stawiamy dwie dowolne nieparzyste ........ \({5\choose 2} \cdot 4 \cdot 4\) możliwości
na pozostałych trzech miejscach rozmieszczamy cyfry parzyste .................................... \(5 \cdot 5 \cdot 5\) możliwości

• RAZEM: \(4 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\right) \cdot \left( 5 \cdot 5 \cdot 5\right)= \frac{1}{2} \cdot 4^4 \cdot 5^4\)

• Odp.: sześciocyfrowych liczb naturalnych, w których są 3 cyfry parzyste i 3 nieparzyste jest \[\frac{1}{2} \cdot 4^5 \cdot 5^3+ \frac{1}{2} \cdot 4^4 \cdot 5^4=144000\]

Co ty na to?

[kerajs]

A może ma być:
\(4 \cdot 5^5 \cdot { 5\choose 2}+5 \cdot 5^5 \cdot { 5\choose 2}=...\)