PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
W urnie są 3 kule białe i 3n kul czarnych. Losujemy dwie kule. Podaj, dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowania pary kul tego samego koloru jest równe prawdopodobieństwu wylosowania pary kul różnokolorowych.
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
\(|\Omega| = {3 + 3n \choose 2}\)
\(P(A')\)- prawdopodobieństwo wylosowania pary kul różnokolorowych
\(P(A)\) - prawdopodobieństwo wylosowania pary kul tego samego koloru
\(P(A) = \frac{{3 \choose 2} + {3n \choose 2} }{{3 + 3n \choose 2} }\)
Szukamy \(n\) takiego, że \(P(A) =P(A')\).
Równanie \(P(A) =P(A')\) oznacza, że \(P(A) =1 - P(A)\), czyli \(2P(A) = 1, P(A)= \frac{1}{2}\).
szukamy \(n\):
\(2 \cdot P(A) = 1\)
\(2 \cdot \frac{{3 \choose 2} + {3n \choose 2} }{{3 + 3n \choose 2} } = 1\)
\(2 \cdot ({3 \choose 2} + {3n \choose 2}) = {3 + 3n \choose 2}\)
\(9n^2 - 3n + 6 = \frac{(3n+3)(3n+2)}{2}\)
na końcu wychodzi równanie kwadratowe, \(n_1= \frac{1}{3}\) (odrzucamy), \(n_2=2\)
odp. \(n=2\)
łatwo sprawdzić dla \(3\) kul białych i \(6\) czarnych że jest ok
\(P(A')\)- prawdopodobieństwo wylosowania pary kul różnokolorowych
\(P(A)\) - prawdopodobieństwo wylosowania pary kul tego samego koloru
\(P(A) = \frac{{3 \choose 2} + {3n \choose 2} }{{3 + 3n \choose 2} }\)
Szukamy \(n\) takiego, że \(P(A) =P(A')\).
Równanie \(P(A) =P(A')\) oznacza, że \(P(A) =1 - P(A)\), czyli \(2P(A) = 1, P(A)= \frac{1}{2}\).
szukamy \(n\):
\(2 \cdot P(A) = 1\)
\(2 \cdot \frac{{3 \choose 2} + {3n \choose 2} }{{3 + 3n \choose 2} } = 1\)
\(2 \cdot ({3 \choose 2} + {3n \choose 2}) = {3 + 3n \choose 2}\)
\(9n^2 - 3n + 6 = \frac{(3n+3)(3n+2)}{2}\)
na końcu wychodzi równanie kwadratowe, \(n_1= \frac{1}{3}\) (odrzucamy), \(n_2=2\)
odp. \(n=2\)
łatwo sprawdzić dla \(3\) kul białych i \(6\) czarnych że jest ok