1. Uzasadnij, że jest 27500 liczb pięciocyfrowych, które w zapisie dziesiętnym mają trzy cyfry parzyste i dwie cyfry nieparzyste
2. Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których co najmniej jedna cyfra jest szóstką
kombinatoryka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Jeśli na pierwszym miejscu jest liczba nieparzysta (5 możliwości), to:
- wybieramy 3 miejsca z pozostałych czterech dla liczb parzystych (\({4\choose3}=4\) możliwości)
- na trzech miejscach lokujemy dowolne liczby parzyste (\(5^3\) możliwości)
- na pozostałym miejscu ustawiamy dowolną nieparzystą (5 możliwości)
Mamy wtedy:
\(5\cdot4\cdot5^3\cdot5=4\cdot5^5\)
takich liczb.
Jeśli na pierwszym miejscu jest liczba parzysta (4 możliwości, bo to nie może być zero), to:
- wybieramy 2 spośród czterech pozostałych miejsc dla liczb parzystych (\({4\choose2}=6\) możliwości)
- na tych miejscach wstawiamy dowolne liczby parzyste (\(5^2\) mozliwości)
- na pozostałych dwóch miejscach ustawiamy dowolne liczby nieparzyste (\(5^2\) mozliwości)
Mamy wtedy:
\(4\cdot6\cdot5^2\cdot5^2=24\cdot5^4\)
takich liczb.
Liczb spełniających warunek zadania jest:
\(4\cdot5^5+24\cdot5^4=4\cdot5^4(5+6)=4\cdot625\cdot11=27500\)
Jeśli na pierwszym miejscu jest liczba nieparzysta (5 możliwości), to:
- wybieramy 3 miejsca z pozostałych czterech dla liczb parzystych (\({4\choose3}=4\) możliwości)
- na trzech miejscach lokujemy dowolne liczby parzyste (\(5^3\) możliwości)
- na pozostałym miejscu ustawiamy dowolną nieparzystą (5 możliwości)
Mamy wtedy:
\(5\cdot4\cdot5^3\cdot5=4\cdot5^5\)
takich liczb.
Jeśli na pierwszym miejscu jest liczba parzysta (4 możliwości, bo to nie może być zero), to:
- wybieramy 2 spośród czterech pozostałych miejsc dla liczb parzystych (\({4\choose2}=6\) możliwości)
- na tych miejscach wstawiamy dowolne liczby parzyste (\(5^2\) mozliwości)
- na pozostałych dwóch miejscach ustawiamy dowolne liczby nieparzyste (\(5^2\) mozliwości)
Mamy wtedy:
\(4\cdot6\cdot5^2\cdot5^2=24\cdot5^4\)
takich liczb.
Liczb spełniających warunek zadania jest:
\(4\cdot5^5+24\cdot5^4=4\cdot5^4(5+6)=4\cdot625\cdot11=27500\)
2.
Wszystkich trzycyfrowych liczb jest
\(9\cdot10\cdot10=900\).
Co druga jest parzysta, czyli trzycyfrowych parzystych jest
\(900:2=450\)
Policzę, ile jest parzystych bez cyfry 6.
Na pierwszym miejscu można wstawić dowolną z ośmiu cyfr (bez 0 i bez 6)
Na drugim może być dowolna, byle nie 6 (9 możliwości)
Na trzecim miejscu musi być parzysta, ale nie 6 (4 mozliwości).
Trzycyfrowych liczb parzystych, w których nie występuje cyfra 6 jest więc
\(8\cdot9\cdot4=288\)
Liczb trzycyfrowych parzystych, w których cyfra 6 wystąpi co najmniej raz jest więc
\(450-288=162\)
Wszystkich trzycyfrowych liczb jest
\(9\cdot10\cdot10=900\).
Co druga jest parzysta, czyli trzycyfrowych parzystych jest
\(900:2=450\)
Policzę, ile jest parzystych bez cyfry 6.
Na pierwszym miejscu można wstawić dowolną z ośmiu cyfr (bez 0 i bez 6)
Na drugim może być dowolna, byle nie 6 (9 możliwości)
Na trzecim miejscu musi być parzysta, ale nie 6 (4 mozliwości).
Trzycyfrowych liczb parzystych, w których nie występuje cyfra 6 jest więc
\(8\cdot9\cdot4=288\)
Liczb trzycyfrowych parzystych, w których cyfra 6 wystąpi co najmniej raz jest więc
\(450-288=162\)