Rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zvxc
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 29 paź 2009, 10:42

Rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Post autor: zvxc »

Witam, bardzo proszę o pomoc w następujących zadaniach:

1.Liczby {1,2,3,...10} są ustawione w ciąg w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A: liczby "1" i "2" w tym ciągu są obok siebie,
B: liczba "1" będzie w tym ciągu przed liczbą "5".

2.W urnie znajduje się 8 kul niebieskich i 4 czerwone. Losujemy jedną kulę, zatrzymujemy ją i następnie losujemy drugą kulę.Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
A: wylosujemy 2 kule niebieskie,
B: za drugim razem wylosujemy kulę czerwoną?

3.W pudełku znajduje się 15 losów, z których 9 wygrywa. Wyjmujemy z pudełka 5 losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich:
A: trzy są wygrywające,
B: co najmniej jeden jest wygrywający?

4.W szufladzie są 4 kule czarne i 5 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybierając dwie kule wybierzemy obie w różnych kolorach.

5.W pudełku jest 10 kul, w tym 4 czarne. Losujemy trzy kule. Prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest co najmniej jedna czarna wynosi:
A) 5/6 B) 1/6 C) 0,784 D) 0,216

6. Z klasy A i klasy B może pojechać na wycieczkę tylko jedna osoba, którą wybiera się w następujący sposób: rzuca się trzy razy monetą i jeżeli wypadną same orły, to losuje się uczestnika wycieczki z klasy A, w pozostałych przypadkach z klasy B. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wycieczkę pojedzie chłopiec wiedząc, że w klasie A jest 20 dziewcząt i 10 chłopców, a w klasie B - 15 dziewcząt i 15 chłopców.

Z góry dziękuję za pomoc!
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
\(\overline{\overline{\Omega}} =10!\)
a)
Możliwości zajęcia dwóch miejsc obok siebie w takim ciągu jest 9. Ustawiamy liczby 1 i 2 w dowolnej kolejności, a pozostałe liczby na pozostałych ośmiu miejscach. Zatem wszystkich takich ciągów jest \(9\cdot8!\cdot2!=2\cdot9!\)
\(P(A)=\frac{2\cdot9!}{10!}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)

b)
Jeśli ustawimy liczbę 1 na k-tym miejscu, to liczbę 5 możemy ustawić na (10-k) możliwości, a pozostałe liczby lokujemy na pozostałych ośmiu miejscach.
\((9+8+...+1)\cdot8!=\frac{9+1}{2}\cdot9\cdot8!=45\cdot8!\)
\(P(B)=\frac{45\cdot8!}{10!}=\frac{45}{9\cdot10}=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}\)
Ostatnio zmieniony 20 lut 2010, 13:48 przez irena, łącznie zmieniany 1 raz.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
Prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosujemy kulę niebieską wynosi \(\frac{8}{12}\). Wtedy w urnie zostanie 11 kul, w tym 7 niebieskich i wylosowanie kuli niebieskiej wyniesie \(\frac{7}{11}\).
Czyli \(P(A)=\frac{8}{12}\cdot\frac{7}{11}=\frac{28}{33}\)

Prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną za pierwszym i drugim razem wynosi \(\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}\). Prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli niebieskiej, z później czerwonej wynosi \(\frac{8}{12}\cdot\frac{4}{11}\)

\(P(B)=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}+\frac{8}{12}\cdot\frac{4}{11}=\frac{3}{33}+\frac{8}{33}=\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
\(\overline{\overline{\Omega}} = {15 \choose 5}\)

\(\overline{\overline{A}} = {9 \choose 3} \cdot {6 \choose 2}\)

\(P(A)=\frac{{9 \choose 3} \cdot {6 \choose 2}}{{15 \choose 5}}=\\=\frac{9!}{3!\cdot6!}\cdot\frac{6!}{2!\cdot4!}\cdot\frac{5!\cdot10!}{15!}=\frac{60}{143}\)
ale sprawdź jeszcze, czy się gdzieś nie pomyliłam.

B'- nie wylosowano żadnego wygrywającego

\(P(B')=\frac{ {6 \choose 5} }{ {15 \choose 5} }\\P(B)=1-P(B')\\P(B)=1-\frac{6}{ {15 \choose 5} }=1-\frac{6\cdot10!\cdot5!}{15!}=1-\frac{2}{1001}=\frac{999}{1001}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.
\(\overline{\overline{\Omega}} =9\cdot8=72\)

\(A= \left\{cb,bc \right\} \\P(A)=\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{8}+\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{5}{9}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.
A- opisane zdarzenie
B- nie wylosowano żadnej czarnej
\(P(B)=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{1}{6}\)

\(P(A)=1-P(B)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
A.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

6.
Przy trzykrotnym rzucie monetą mamy \(2^3=8\) możliwych wyników.
Prawdopodobieństwo, że wyrzucimy 3 orły wynosi \(\frac{1}{8}\).
Prawdopodobieństwo, że losować będziemy z klasy A jest równe \(\frac{1}{8}\), a to, że będziemy losować z klasy B jest równe \(\frac{7}{8}\).
Prawdopodobieństwo, że wylosujemy chłopca w klasie A wynosi \(\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\), a w klasie B jest równe \(\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\)
\(P(A)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}+\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{24}+\frac{7}{16}=\frac{2+21}{48}=\frac{23}{48}\)
ODPOWIEDZ