Prawdopodobieństwo - 3 zadania - p. roz

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
bolc
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 275
Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Prawdopodobieństwo - 3 zadania - p. roz

Post autor: bolc »

Z. 1

Wybieramy losowo trzy różne liczby naturalne ze zbioru \({1,2,3...,100}\). Czy bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\), czy wybranie trzech liczb, z których można utworzyć ciąg arytmetyczny ?

Odpowiedź: Bardziej prawdopodobne jest wybranie trzech liczb podzielnych przez \(4\).

Komentarz: Policzyłem omegę, czyli \(\Omega = { 100\choose 3} =161700\) oraz zbiór A, czyli wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\), czyli \(A= {25 \choose 3} =2300\). A więc prawdopodobieństwo wybrania trzech liczb podzielnych przez \(4\) wynosi \(P(A)= \frac{23}{1617}\). Niestety nie potrafię policzyć prawdopodobieństwa wylosowania trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny \(P(B)\).

Z.2

W urnie są trzy kule, w tym \(n\) białych. Wyjęto dwie kule i włożono do drugiej urny, początkowo pustej. Z drugiej urny wyjęto teraz jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania z drugiej urny kuli białej.

Odpowiedź: \(P(A)= \frac{n}{3}\)

Z.3

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy czterokrotnym rzucie kostką trzy kolejne wyniki tworzą ciąg geometryczny.

Odpowiedź : \(P(A)= \frac{5}{72}\)

Komentarz: To zadanie w zasadzie zrobiłem, ale może ktoś potrafi je zrobić prościej i lepiej niż ja. Otóż policzyłem omegę \(\Omega =6^4\) a zbiór A zapisałem jako \(2 \cdot (6+6+6+6+6+6+6+6)-6=15 \cdot 6\).

Policzyłem to tak, że jest 6 możliwości dla (1,1,1,x) gdzie x jest liczbą z przedziału <1,6> i razy dwa ponieważ x może być na początku lub na końcu. Podobnie z (2,2,2,x) itp. Czyli to jest sześć szóstek, do tego dochodzi (1,2,4,x) i też razy dwa bo może być (x,1,2,4) oraz (4,2,1,x) i także razy 2, czyli jest \(2 \cdot 8 \cdot 6\) ale trzeba odjąć od tego 6 ponieważ, może być sytuacja (1,1,1,1) ; (2,2,2,2) itp, ogólnie 6 takich sytuacji, które przy mnożeniu przez 2 się podwaja. Koniec końców wyszło mi

\(P(A)= \frac{15 \cdot 6}{6^4} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}\)

Proszę o pomoc.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
Nie wiem, czy dobrze myślę, ale spróbuj prześledzić takie rozumowanie:
- ciągów stałych nie ma
- ciągów trzech liczb, których kolejne wyrazy tworzą ciąg o różnicy 1 jest tyle, ile kolejnych trzech liczb, czyli (100-2)
- ciągów o różnicy -1 jest tyle samo, czyli (100-2)
-ciągów o różnicy 2 jest (100-4)- pierwszy to (1,3,5), ostatni (96,98,100)
- ciągów o różnicy -2 tyle samo, czyli (100-4)
.
- ciągów o różnicy k jest (100-2k)
.
- ciągów o różnicy 48 jest (100-96)=4
- ciągów o różnicy -48 też 4
- ciągów o różnicy 49 jest (100-98)=2.
Razem wszystkich takich ciągów jest:
\(2\cdot98+2\cdot96+2\cdot94+...+2\cdot4+2\cdot2=2\cdot\frac{2+98}{2}\cdot49=100\cdot49=4900\)

Zbiór \(\Omega\) to zbiór wszystkich ciągów różnowartościowych.
\(\overline{\overline{\Omega}} =100\cdot99\cdot98\)

\(P(B)=\frac{4900}{100\cdot99\cdot98}=\frac{1}{198}\)
Ostatnio zmieniony 19 lut 2010, 07:51 przez irena, łącznie zmieniany 1 raz.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
\(\overline{\overline{\Omega}} = {3 \choose 2} =3\\P(A)=1\cdot\frac{ {n \choose 2}}{3} +\frac{1}{2}\cdot \frac{{n \choose 1} \cdot {3-n \choose 1} }{3}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(3-n)}{2}}{3}=\frac{\frac{2n}{2}}{3}=\frac{n}{3}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
według mnie zrobiłeś dobrze.
Ciągów (a,a,a,x), gdzie x jest różne od a jest \(6\cdot5=30\), podobnie ciągów (x,a,a,a), też 30.. Do tego 6 ciągów (a,a,a,a). Razem 66.
do tego trzeba doliczyć 12 ciągów (1,2,4,a), (a,1,2,4), gdzie a- dowolne do 6
i 12 ciągów (4,2,1,a), (a,4,2,1). Razem 90.

Niepotrzebnie tylko rozpisujesz wszystko jako sumy, bo to trochę strasznie wygląda. Czasem inaczej się nie da. Ja myślę, że najważniejsze, że dobrze myślisz. A jak to sobie zapiszesz, to już Twoja sprawa.
bolc
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 275
Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Post autor: bolc »

Ok, wszystko jasne, wielkie dzięki ;-).
bolc
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 275
Rejestracja: 26 sty 2010, 23:22
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Post autor: bolc »

irena pisze: \(100+2\cdot98+2\cdot96+2\cdot94+...+2\cdot4+2\cdot2=2\cdot\frac{2+98}{2}\cdot49=100\cdot49=4900\)
Ale tutaj chyba nie powinno być tej 100 na początku. Przynajmniej tak wynika z poprzedniej i dalszej części zapisu ;-). Jeszcze raz ślicznie dziękuję.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Tak, nie wiem, skąd ta setka. Poprawiłam
pepsi2092
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 19 kwie 2012, 15:41

Re: Prawdopodobieństwo - 3 zadania - p. roz

Post autor: pepsi2092 »

Wg mnie w zadaniu 1 jest źle, bo trzeba wybrać trzy liczby z których można utworzyć ciąg arytmetyczny, więc z liczb np {1,2,3} można utworzyć 2 ciągi arytmetyczne ale {1,2,3} to jest tak jakby jedna możliwość a nie 2 bo nie ma znaczenia czy ciąg będzie rosnący czy malejący, chodzi aby znaleźć trzy liczby z których można utworzyć ciąg . Może ja to źle rozumuję ale wyjasnijcie mi to jak możecie :) To jest jedna trójka i tam gdzie bedzie r=-1 czy r=1 to ciąg będzie utworzony z tej samej trójki liczb także czemu mnożycie x2 jeszcze wszystko ? ;)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Przeglądałam jeszcze raz ten temat z zad. 1.
Zbiór \(\Omega\) to- jak policzyłam- zbiór wszystkich ciągów trójwyrazowych otrzymanych w ten sposób (czyli liczy się kolejność).
W rozwiązaniu obliczałam zbiór ciągów arytmetycznych trójwyrazowych, a nie zbiory trzech elementów, z których można ciąg ułożyć.
W liczeniu prawdopodobieństwa nie powinno być mnożenia przez 2, tylko przez ilość permutacji, przez \(3!\) (bo nieważna jest kolejność losowania)
Tak więc, powinno być;
\(2+4+...+98=\frac{2+98}{2}\cdot49=2450\\P(B)=\frac{2450\cdot3!}{100\cdot99\cdot98}=\frac{2450\cdot6}{970200}=\frac{1}{66}\)

Albo:
\(P(B)=\frac{2450}{{100\choose 3}}\)
ODPOWIEDZ