Ilość liczb

[gonzalo2096]

Oblicz, ile jest liczb dwunastocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3 i takich, że każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o 1.

[sebnorth]

Są dwie opcje:

1) dwójki stoją na miejscach: \(1,3,5,7,9,11\)

2) dwójki stoją na miejscach: \(2,4,6,8,10,12\)

teraz w każdym przypadku trzeba rozmieścić jedynki i trójki pomiędzy dwójkami, można to zrobić na \(2^6\) sposobów

razem mamy więc \(2 \cdot 2^6\) sposobów

[gonzalo2096]

A dlaczego na\(2*2^6\) a nie \(3*2^6\) Są 3 liczby

[sebnorth]

ale są dwie opcje

[Irena46]

Oblicz, ile jest liczb dwunastocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3 i takich, że każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o 1.

[sebnorth]

to jest ciężkie zadanie ale mogę pomyśleć

[ThatGuy]

Takie liczby mogą rozpoczynać się od 1, 2 lub 3. Musisz rozważyć każdy przypadek. Metodą drzewka rozrysuj kilka (ok. cztery do ośmiu) kroków.

Zauważysz że dla 1 i 3 na pierwszym miejscu, dwójki pojawiają się na miejscach parzystych. W ten sposób dla 1 lub 3 na pierwszym miejscu, pozycję pierwszą i wszystkie parzyste masz już zajęte. Zostało 5 pozycji do obsadzenia (3,5,7,9,11). Każdą z nich możesz obsadzić na 2 sposoby, jedynką lub trójką, (spójrz na drzewko, które zrobiłeś). Więc dla jedynki na pierwszym miejscu masz \({2}^{5}\) możliwości wyboru cyfry (reguła mnożenia). Tyle samo jest dla trójki na pierwszym miejscu. Łącznie dla 1 lub 3 na pierwszym miejscu masz 25 (dla jedynki na pierwszym miejscu) + \({2}^{5}\) (dla trójki na pierwszym miejscu), czyli \( {{}{2}^{5}+{2}^{5}=2*{2}^{5}={2}^{6}=128}\) możliwości.
Teraz rozpatrzmy przypadek, w którym dwójka stoi na pierwszym miejscu. Jak wynika z drzewka dwójki występują na nieparzystych pozycjach. Po wpisaniu dwójek zostało nam 6 pozycji do obsadzenia (2,4,6,8,10,12). Każdą z nich możemy obsadzić na dwa sposoby (jedynką lub trójką). Mamy więc dla każdej pozycji 2 możliwości, dla sześciu pozycji mamy \( {2}^{6}=64\) możliwości (reguła mnożenia).
Dla 1 lub 3 na pierwszym miejscu mamy \( {2}^{6} \) możliwości, dla 2 na pierwszym miejscu mamy \( {2}^{6}\) możliwości. Łącznie mamy \({2}^{6}+{2}^{6}=2*{2}^{6}={2}^{7}= 128 \)możliwości.