Zadania różne z kombinatoryki.

[pawel96]

Proszę o rozwiązane kilku zadań z wyjaśnieniem gdyż niektórych nie znalazłem w internecie albo nie rozumiałem znalezionego rozwiązania.

1.Ile jest liczb 5-cyfrowych, w których zapisie 0 występuje 5 razy.a pozostałe cyfry są nieparzyste? Odp.2626
Mi wychodzi 2625.

2.Piętnaście osób trzeba podzielić na trzy grupy, po pięć w każdej grupie. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli uporządkowanie w grupie nie ma znaczenia oraz:
a)Kolejność jest istotna? Odp.672672 Tutaj trzeba liczyć z wariacji czy kombinacji bo mimo iż rozumiem zapis (15 nad 5)*10 nad 5) to nie wychodzi.
b)Kolejność jest nie istotna. Odp ta sama tylko podzielona przez 3! które nie wiem skąd się wzięło.

3.Za zbioru licz {1,2,3..15} losujemy jednocześnie dwie. Ile jest możliwych wyników losowania, tak aby:
d) iloczyn obu był podzielny przez 8. Odp.23

4.Za zbioru licz {1,2,3..11} losujemy jednocześnie trzy. Ile jest możliwych wyników losowania, tak aby:
c)iloczyn wylosowanych był parzysty. Odp: 145
d)iloczyn wylosowanych był podzielny przez 10. Odp: 71

Z góry dziękuję.

[Galen]

1)
W pięciocyfrowych zero 5 razy???

[Galen]

Zad.2
Wybierasz 5 z 15 osób i 5 z 10 osób i trzecia piątka jest jedna,ale te 3 piątki możesz uporządkować na 3! sposobów i
wszystko dzielisz przez 3!. Dostaniesz podaną odpowiedź.

b)
Kolejność nie jest istotna,czyli odrzucasz porządkowanie na 3! sposobów.

[Galen]

Zad.3
Liczysz kiedy iloczyn dwóch liczb z tego zbioru jest wielokrotnością liczby 8
\((2;4)(2;12)(4;6)(4;10)(4;12)(4;14)(6;12)\\(8;1)(8;2)(8;3)(8;4)(8;5)(8;6)(8;7)(8;9)(8;10)(8;11)(8;12)(8;13)(8;14)(8;15)\\(10;12)(12;14)\)

[irena]

4.a)
Wszystkich możliwości losowania jest
\({11\choose3}=\frac{11\cdot10\cdot9}{2\cdot3}=165\)

Iloczyn liczb jest nieparzysty, jeśli wszystkie trzy są nieparzyste.
Takich trójek jest
\({6\choose3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{2\cdot3}=20\)

Iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty w
\(165-20=145\)
przypadkach

[irena]

b)
Iloczyn trzech licz jest podzielny przez 10, jeśli

- jedną z liczb jest 10 (wybieramy dwie pozostałe z dziesięciu)
Takich trójek jest
\({10\choose2}=\frac{10\cdot9}{2}=45\)

- żadną z nich nie jest 10, ale jedną z nich jest 5 i obie parzyste (wybieramy 2 z 4, bo bez 10)lub jedna parzysta i jedna nieparzysta (wybieramy jedną z 4 parzystych- bo bez 10 i jedną z 5 nieparzystych- bo bez 5)
Takich trójek jest
\({4\choose2}+4\cdot5=\frac{4\cdot3}{2}+20=6+20=26\)

Iloczyn jest podzielny przez 10 w
\(45+26=71\)
przypadkach

[pawel96]

Przepraszam w 1 przykładzie liczba ma 8 cyfr.

[irena]

1.
Cyfra zero nie może być na pierwszym miejscu.
Wybieramy więc 5 miejsc z siedmiu dla postawienia zer.
\({7\choose5}=\frac{7\cdot6}{2}=21\)

Na pozostałych trzech miejscach można wstawić każdą z pięciu cyfr nieparzystych
\(5^3=125\)

Takich liczb jest więc
\(21\cdot125=2625\)

Może pomyłka w odpowiedzi? Zdarza się...

[VirtualUser]

Zad.2
Wybierasz 5 z 15 osób i 5 z 10 osób i trzecia piątka jest jedna,ale te 3 piątki możesz uporządkować na 3! sposobów
i wszystko dzielisz przez 3!.Dostaniesz podaną odpowiedź.
b)
Kolejność nie jest istotna,czyli odrzucasz porządkowanie na 3! sposobów.

Właśnie chodzi o to, że w odpowiedziach mają w a) \({15 \choose 5} \cdot { 10\choose 5} \cdot 1\)
a w b) \(\frac{{15 \choose 5} \cdot { 10\choose 5} \cdot 1}{3!}\)

[Galen]

To jest niekompletny opis rozwiązania...To był komentarz do odpowiedzi podanej przez Autora pytania...
Powinno być:
a)
Wybierasz 5 z piętnastu osób,następnie 5 z dziesięciu osób,a trzecia piątka to te osoby,które pozostały.Trzy grupy numerujemy,więc można je uporządkować na 3! sposobów.Te piątki mogą się dublować,więc dzielimy wszystko przez 3!.
\(\frac{ {15 \choose 5} \cdot { 10\choose 5} \cdot 1 \cdot 3! }{3!}= { 15\choose 5} \cdot { 10\choose 5}\)
b)
Tu tylko nie ma porządkowania na 3! sposobów w liczniku (bo kolejność nie jest istotna),reszta bez zmian.
\(\frac{ {15 \choose 5} \cdot { 10\choose 5} }{3!}\)

[VirtualUser]

Te piątki mogą się dublować,więc dzielimy wszystko przez 3!.

Jak te piątki mogą się dublować? Wybieramy wszystko na dwumianach newtona więc wydaje się wszystko w porządku

[Galen]

Grupa osób w pierwszej piątce może być z numerem 2,albo z numerem trzy.Analogicznie jest z grupa 2,ona może być trzecią lub czwartą...itd.
To jest przykład zadania,w którym symbol Newtona dzielisz przez k!,gdzie k jest liczbą grup tworzonych z jakiegoś zbioru
i kolejność tych grup jest istotna.