Rachunek prawdopodobieństwa

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zwykła 91
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 29 lis 2009, 14:05

Rachunek prawdopodobieństwa

Post autor: zwykła 91 »

Mam problem z rozwiązaniem zadań i proszę o Waszą pomoc
1. Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia:
A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,
B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A U B.

2. Poniższa tabelka zestawia średnie płace pewnej grupy osób.Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik z tej grupy zarabia powyżej mediany.

Średnia płaca: 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000
Liczba osób: 12 | 4 | 2 | 2 | 5

3. W pudełku mamy 18 kul w 3 kolorach: białe, czarne i niebieskie w stosunku 2:3:4. Losujemy bez zwracania 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czarnych. Rozwiązanie przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

4. Dana jest funkcja f(x)=x (do kwadratu) +a. Liczbę a wybieramy losowo ze zbioru {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby, że funkcja:
a) będzie miała jedno miejsce zerowe;
b) będzie przyjmować wartości nieujemne dla wszystkich argumentów x (należy do) R.

5. W grupie 200 osób 65% uczy się języka angielskiego, 47% uczy się języka rosyjskiego, a 30% uczy się obu tych języków. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo osoba z tej grupy nie ucz się żadnego z wymienionych języków.

6. W rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składająca się z pięciu harcerek i czterech harcerzy. Maszerują w szyku zwanym "gęsiego". Ile istnieje różnych sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerzami, a harcerki z harcerkami?

7. W urnie jest 27 kul ponumerowanych liczbami od 5 do 31. Kule z numerami od 5 do 10 są czerwone, od 11 do 20 są zielone, a pozostałe żółte. Losujemy jedna kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, ze wylosujemy kulę czerwoną lub z numerem podzielnym przez 3.

8. Wiadomo, że P(A) = 0,6; P(B) = 0,5; P\((A\cap B)\) = 0,4. Oblicz P\((A'\cap B')\)

9. Rzucamy trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia:
a) dokładnie jednej reszki;
b) dokładnie dwóch reszek.

Jestem tu nowa i nie wiem za bardzo jak się tu wstawia symbole matematyczne także niektóre z nich zapisałam w nawiasach tak jak się je czyta.
Wiem że tego jest bardzo dużo :( ale bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu ich bo ja nie umiem a muszę się nauczyć rozwiązywać tego typu zadania.
Ostatnio zmieniony 30 lis 2009, 19:26 przez zwykła 91, łącznie zmieniany 1 raz.
Wolę być niedoskonałą wersją samej siebie, niż najlepszą kopią kogoś innego
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
Przy rzucie dwiema kostkami wszystkich zdarzeń jest \(6\cdot6=36\), bo na każdej kostce mamy po 6 różnych możliwości.

A- "na każdej kostce otrzymano nieparzystą liczbę oczek" (czyli 1, 3 lub 5).
Zdarzeniu A sprzyja więc \(3\cdot3=9\) zdarzeń elementarnych.

B - "suma oczek jest równa co najmniej 8" (czyli 8, 9, 10, 11 lub 12).

B = {26,35,36,44,45,46,53,54,55,56,62,63,64,65,66}. zdarzeń sprzyjających jest 15.

\(A\cap\ B\) = {35,53,55}- ze zbioru B wybieramy te, które należą również do zbioru A, czyli obie liczby są nieparzyste.

Zbiór \(A\cap\ B\) ma zatem 3 elementy.

\(P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\), \(P(B)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\), \(P(A\cap\ B)=\frac{3}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)

\(P(A\cup\ B)=P(A)+P(B)-P(A\cap\ B)=\frac{1}{4}+\frac{5}{12}-\frac{1}{12}=\frac{7}{12}\)

2.
Żeby obliczyć medianę należy ustawić wyniki od najmniejszego do największego niemalejąco.
Jeżeli ilość wyników jest liczbą nieparzystą, to medianą jest liczba stojąca w środku (tzw. środkowa).
Jeżeli liczba wyników jest parzysta, to mediana jest średnią arytmetyczną dwu liczb stojących na środkowych miejscach.

Tu wyników jest: 12+4+2+2+5 = 25 (liczba wszystkich osób). Jest to liczba nieparzysta. Liczbą stojącą w środku jest liczba trzynasta. Na trzynastym miejscu jest liczba 1500. Mediana wynosi więc 1500.
Wyników większych od mediany jest 9 (to te, których płaca jest wyższa niż 1500). Prawdopodobieństwo zdarzenia z zadania jest równe zatem \(\frac{9}{25}\).

3.
2+3+4=9
Kule białe stanowią więc \(\frac{2}{9}\) wszystkich kul w pudełku, czarne \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\), a niebieskie \(\frac{4}{9}\).

\(\frac{1}{3}\cdot18=6\).

Przy losowaniu bez zwracania dwu kul z 18 mamy \(18\cdot17=206\) wszystkich możliwości.

Możliwości wylosowania w tym doświadczeniu kolejno dwu kul czarnych mamy \(6\cdot5=30\) możliwości.

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe zatem \(\frac{30}{206}=\frac{5}{51}\).

4.
a) Funkcja f(x)=\(x^2+a\) ma jedno miejsce zerowe tylko wtedy, kiedy a = 0. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe \(\frac{1}{6}\).

b) Funkcja ta przyjmuje dla wszystkich rzeczywistych argumentów tylko wartości nieujemne, jeśli \(a\geq0\).

Są 4 takie możliwości. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

5.
65% z 200 = 0,65\(\cdot\)200=130
45% z 200 = 94
30% z 200 = 60.

W zbiorze \(A\cup\ B\) jest więc 130+94_60 = 164 elementy. To znaczy, że co najmniej jednego z tych języków uczy się 164 osoby. Żadnego z nich nie uczy się 200-164=36 osób.

Prawdopodobieństwo zdarzenia opisanego w zadaniu jest równe \(\frac{36}{200}=\frac{9}{50}\).

6.
Pięciu chłopców ustawić musimy ma pięciu miejscach - pierwszym, trzecim, piątym, siódmym, dziewiątym, a dziewczęta na czterech pozostałych.
Możliwości ustawienia chłopców jest 5!= 120 (ilość permutacji 5-elementowych), a dziewcząt - 4! = 24.
Wszystkich możliwości jest więc 120\(\cdot\)24=2880.

7.
Wszystkich kul jest 27.
Kul czerwonych jest 6.
Kul z numerami podzielnymi przez 3 jest 27:3=9.
Kule czerwone z numerami podzielnymi przez 3 są dwie (z numerem 6 lub 9).

A- "wylosowano kulę czerwoną"
B- "wylosowano kulę z numerem podzielnym przez 3"
\(A\cap\ B\) - "wylosowano kulę czerwoną z numerem podzielnym przez 3"
\(A\cup\ B\) - (wylosowano kulę czerwoną lub kulę z numerem podzielnym przez 3"

\(P(A)=\frac{6}{27}\)

\(P(A)=\frac{9}{27}\)

\(P(A\cap\ B)=\frac{2}{27}\)

\(P(A\cup\ B)=P(A)+P(B)-P(A\cap\ B)=\frac{13}{27}\).

8.
Z prawa de Morgana mamy: \((A'\cap\ B')=(A\cup\ B)'\).

Z własności prawdopodobieństwa mamy: \(P(A'\cap\ B')=P(A\cup\ B)'=1-P(A\cup\ B)\).

\(P(A\cup\ B)=0,6+0,5-0,4=0,7\)

\(P(A'\cap\ B')=1-0,7=0,3\).

9.
Wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest \(2^3=8\).

a) Zdarzenia sprzyjające tutaj to: {RRO,ORO,OOR}. Jest ich 3. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest więc równe \(\frac{3}{8}\).

b) Zdarzenia sprzyjające: {RRO,ROR,ORR}. Prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{3}{8}\).
zwykła 91
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 29 lis 2009, 14:05

Post autor: zwykła 91 »

bardzo dziękuję za pomoc :)
Wolę być niedoskonałą wersją samej siebie, niż najlepszą kopią kogoś innego
ODPOWIEDZ