kilka zadań - urny, loteria, losowanie liczb

[kaki]

1) W urnie są 3 kule białe i 1 kula czarna. Liczbę kul czarnych zwiększano n-krotnie. Oblicz n, jeśli w jednoczesnym losowaniu 2 kul prawdopodobieństwo wylosowania kul o różnych kolorach się nie zmieniło.

2) Wśród n losów loterii jest 5 losów wygrywających. Dla jakich n prawdopodobieństwo tego, że zakupione 2 losy będą wygrywające, jest większe od \(\frac{1}{4}\) ?

3) Spośród liczb 1, 2, ..., n (n \(\ge\) 3) losujemy kolejno bez zwracania 2 liczby.
a) oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.
b) dla jakich n prawdopodobieństwo tego, że różnica między większą liczbą a mniejszą jest równa 2, jest większe od \(\frac{1}{4}\) ?

4) W urnie znajduję się n (n>0) kul białych oraz kn kul czarnych, gdzie k jest liczbą naturalną dodatnią. Z urny losujemy 2 kule bez zwracania.
a) wykaż, że prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul o różnych kolorach jest równe prawdpodobieństwu wylosowania 2 kul o takim samym kolorze wtedy i tylko wtedy, gdy n= \(\frac{k+1}{(k-1)^2}\) i k>1.
b) uzasadnij, że dla k>1 liczba n= \(\frac{k+1}{(k-1)^2}\) jest liczbą naturalną tylko dla k=2 lub k=3.

Nietety nie wiem, z jakiej książki są te zadania, ani nie znam wyników.
Za rozwiązania i podpowiedzi z góry bardzo dziękuję!

[irena]

1.
\(P(\{bc,\ cb\})=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{3}=\frac{1}{2}\)

Teraz jest n kul czarnych i 3 białe
\(P(\{bc,\ cb\})=\frac{3}{n+3}\cdot\frac{n}{n+2}+\frac{n}{n+3}\cdot\frac{3}{n+2}=\frac{6n}{(n+3)(n+2)}\)

\(\frac{6n}{n^2+5n+6}=\frac{1}{2}\\n^2+5n+6=12n\\n^2-7n+6=0\\(n-1)(n-6)=0\\n=1\ \vee\ n=6\)

\(n=6\)

[Galen]

2)
n losów, w tym 5 wygrywających...
\(\frac{ { 5\choose2 } }{ {n \choose 2} }> \frac{1}{4}\)
\({ 5\choose2 } > {n \choose 2}\cdot \frac{1}{4}\\
\frac{5!}{2!\cdot 3!}> \frac{n!}{2!\cdot (n-2)!} \cdot \frac{1}{4}\)

\(10> \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{4}\;/ \cdot 8\\
80>n^2-n\)
\(n^2-n-80<0\\
\Delta =321\;\;\;\;\;\;\; \sqrt{ \Delta }\approx 17,92\\
n_1\approx -8,4\\
n_2\approx 9,46\)
\(n \in (-8,4\;;\;9,46)\)

Z treści zadania wynika,że \(n \in N \;\;\;\;i\;\;\;n \ge 5\)
Otrzymujemy więc \(n \in \left\{ 5,6,7,8,9\right\}\)

[irena]

2.
\(P(A)=\frac{5}{n}\cdot\frac{4}{n-1}>\frac{1}{4}\\\frac{20}{n^2-n}>\frac{1}{4}\\n\ge5\\n(n-1)<80\\n^2-n-80<0\\\Delta=1+320=321\\n_1=\frac{1-\sqrt{321}}{2}<0\ \vee\ n_2=\frac{1+\sqrt{321}}{2}\approx9,5\\n>5\ \wedge\ n\in N_+\\n\in\{5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}\)

[irena]

3.
a)
Jeśli pierwszą wylosowaną jest n, to mamy (n-1) możliwości. Dla pierwszej równej (n-1) mamy (n-2) możliwości. ...
Razem tych możliwości jest \(n-1+n-2+...+2+1=\frac{1+n-1}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\)
Wszystkich uporządkowanych par losowanych liczb jest \(n(n-1)\)

\(P(A)=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n(n-1)}=\frac{1}{2}\)

Inaczej- jeśli losujemy bez zwracania, to mamy jednakowe prawdopodobieństwo, że pierwsza jest większa od drugiej, jak i to, że pierwsza jest od drugiej mniejsza. Zatem \(P(A)=\frac{1}{2}\)

b)
Interesujące pary to pary:
13, 24, 35,..., (n-2)n, n(n-2), (n-1)(n-3),...,31.
Takich par jest \(2(n-2)=2n-4\)

\(P(B)=\frac{2(n-2)}{n(n-1)}>\frac{1}{4}\\8(n-2)>n(n-1)\\8n-2>n^2-n\\n^2-n<8n-16\\n^2-9n+16<0\\\Delta=81-64=15\\n_1=\frac{9-\sqrt{15}}{2}\approx2,6\ \vee\ n_2=\frac{9+\sqrt{15}}{2}\approx6,4\\n\ge3\ \wedge\ n\in N_+\\n\in\{3,\ 4,\ 5,\ 6\}\)

[irena]

4.
\(P(\{bc,\ cb\})=\frac{n}{(k+1)n}\cdot\frac{kn}{(k+1)n-1}+\frac{kn}{(k+1)n}\cdot\frac{n}{(k+1)n-1}=\frac{2kn}{(k+1)\cdot[(k+1)n-1]}\)

\(P(\{bb,\ cc\})=\frac{n}{(k+1)n}\cdot\frac{n-1}{(k+1)n-1}+\frac{kn}{(n+1)k}\cdot\frac{kn-1}{(k+1)n-1}=\frac{n-1+k(kn-1)}{(k+1)\cdot[(k+1)n-1]}\)

\(P(\{bc,\ cb\})=P(\{bb,\ cc\})\\2kn=n-1+k(kn-1)\\2kn=n-1+k^2n-k\\k^2n-2kn+n=k+1\\n(k^2-2k+1)=k+1\\n(k-1)^2=k+1\\k>1\\n=\frac{k+1}{(k-1)^2}\)

[irena]

b)
Jeśli k=2, to \(n=\frac{3}{1^2}=3\)

Jeśli k=3, to \(n=\frac{4}{2^2}=1\)

Żeby \(n=\frac{k+1}{(k-1)^2}\) było liczbą naturalną, mianownik musi być naturalnym dzielnikiem licznika, musi być od dzielnika mniejszy, lub co najwyżej mu równy.

\((k-1)^2\le k+1\\k^2-2k+1\le k+1\\k^2-3k\le0\\k(k-3)\le0\\k\in<0;\ 3>\)

Taka zależność nie zachodzi dla liczb k>3. A ponieważ k>1, więc n jest liczbą naturalną tylko dla \(k=2\ \vee\ k=3\)

[Miszka06]

3.
a)
Jeśli pierwszą wylosowaną jest n, to mamy (n-1) możliwości. Dla pierwszej równej (n-1) mamy (n-2) możliwości. ...
Razem tych możliwości jest \(n-1+n-2+...+2+1=\frac{1+n-1}{2}\cdot(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\)
Wszystkich uporządkowanych par losowanych liczb jest \(n(n-1)\)

\(P(A)=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n(n-1)}=\frac{1}{2}\)

Inaczej- jeśli losujemy bez zwracania, to mamy jednakowe prawdopodobieństwo, że pierwsza jest większa od drugiej, jak i to, że pierwsza jest od drugiej mniejsza. Zatem \(P(A)=\frac{1}{2}\)

b)
Interesujące pary to pary:
13, 24, 35,..., (n-2)n, n(n-2), (n-1)(n-3),...,31.
Takich par jest \(2(n-2)=2n-4\)

\(P(B)=\frac{2(n-2)}{n(n-1)}>\frac{1}{4}\\8(n-2)>n(n-1)\\8n-2>n^2-n\\n^2-n<8n-16\\n^2-9n+16<0\\\Delta=81-64=15\\n_1=\frac{9-\sqrt{15}}{2}\approx2,6\ \vee\ n_2=\frac{9+\sqrt{15}}{2}\approx6,4\\n\ge3\ \wedge\ n\in N_+\\n\in\{3,\ 4,\ 5,\ 6\}\)

W miejscu, gdzie liczona jest \(\Delta\) jest błąd - 81- 64 to 17. Poza tym wystarczy podmienić dane i reszta jest w porządku.