Ze zbioru \(A={[1,2,3,...,102]}\)losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.
z góry dzięki
Suma liczb podzielna przez 3
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Suma dwóch liczb będzie podzielna przez 3 gdy :
1. obie są podzielne przez 3
2. jedna z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a druga daje resztę 1.
Wszystkich liczb ( podzielnych przez 3, dających resztę 2 i resztę 1) jest po tyle samo, czyli 34
W pierwszym przypadku wyznaczamy 2-elementowe kombinacje zbioru 34-elementowego ( bo wybór 2 liczb z tego samego zbioru)
W drugim przypadku możliwości jest \(34\cdot 34\) [ jedna z liczba z jednego zbioru(tych z resztą 2), druga z drugiego (tych z resztą 1)]
\(A=34\cdot 34 + \frac{33\cdot 34}{2}\)
No a zbiór wszystkich zdarzen to wiadomo, \(k=\frac{101\cdot 102}{2}\)
Wychodzi \(P(A)= \frac{A}{k} = \frac{1}{3}\)
1. obie są podzielne przez 3
2. jedna z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a druga daje resztę 1.
Wszystkich liczb ( podzielnych przez 3, dających resztę 2 i resztę 1) jest po tyle samo, czyli 34
W pierwszym przypadku wyznaczamy 2-elementowe kombinacje zbioru 34-elementowego ( bo wybór 2 liczb z tego samego zbioru)
W drugim przypadku możliwości jest \(34\cdot 34\) [ jedna z liczba z jednego zbioru(tych z resztą 2), druga z drugiego (tych z resztą 1)]
\(A=34\cdot 34 + \frac{33\cdot 34}{2}\)
No a zbiór wszystkich zdarzen to wiadomo, \(k=\frac{101\cdot 102}{2}\)
Wychodzi \(P(A)= \frac{A}{k} = \frac{1}{3}\)
ok, dzieki wielkie 
tylko mam pytanko:
skad wiadomo o tym: (np, jak bedzie inna podzielnosc, to jak na to wpadac ?):
1. obie są podzielne przez 3
2. jedna z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a druga daje resztę 1.
Wszystkich liczb ( podzielnych przez 3, dających resztę 2 i resztę 1) jest po tyle samo, czyli 34
tylko mam pytanko:
skad wiadomo o tym: (np, jak bedzie inna podzielnosc, to jak na to wpadac ?):
1. obie są podzielne przez 3
2. jedna z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a druga daje resztę 1.
Wszystkich liczb ( podzielnych przez 3, dających resztę 2 i resztę 1) jest po tyle samo, czyli 34
Każda liczba w zbiorze przy dzieleniu przez 3 może dać jedną z reszt : 0,1,2. Innych opcji nie ma.
Zapiszmy więc liczby w postaci \(3k+1, 3n+2,3l\) \(n, k, l\) naturalne
\(3k+3l=3(k+l)\)
\(3k+1+3n+2=3k+3n+3=3(k+n+1)\)
Widać więc, że w tych dwóch przypadkach suma jest podzielna przez 3. Gdy się sprawdzi dla reszty, to wyjdzie, że tylko te 2 opcje są możliwe.
A co do ilości liczb:
Podzielne przez 3: \(3\cdot 1, 3\cdot 2, 3\cdot 3,...,3\cdot 34\) - \(34\)
Dające resztę 2 \(2,5,7,9,...,101\) . Tworzą ciąg arytmetyczny \(a_{n}=2+3(n-1)\)
\(2+3(n-1)=101\)
\(n=34\)
No więc pozostaje 34 liczby dające resztę 1
Zapiszmy więc liczby w postaci \(3k+1, 3n+2,3l\) \(n, k, l\) naturalne
\(3k+3l=3(k+l)\)
\(3k+1+3n+2=3k+3n+3=3(k+n+1)\)
Widać więc, że w tych dwóch przypadkach suma jest podzielna przez 3. Gdy się sprawdzi dla reszty, to wyjdzie, że tylko te 2 opcje są możliwe.
A co do ilości liczb:
Podzielne przez 3: \(3\cdot 1, 3\cdot 2, 3\cdot 3,...,3\cdot 34\) - \(34\)
Dające resztę 2 \(2,5,7,9,...,101\) . Tworzą ciąg arytmetyczny \(a_{n}=2+3(n-1)\)
\(2+3(n-1)=101\)
\(n=34\)
No więc pozostaje 34 liczby dające resztę 1