Noże i widelce w szufladzie

[Januszgolenia]

W szufladzie mamy 5 noży i 5 widelców. Losujemy z szuflady pięć przedmiotów. Prawdopodobieństwo, że wylosujemy 5 widelców:
A. jest równe liczbie \(\frac{1}{2}\)
B. jest większe od \(\frac{1}{2}\)
C. jest równe \((\frac{1}{2})^5\)
D. jest równe prawdopodobieństwu, że wylosujemy 5 noży

[radagast]

\(\Omega\)- zbiór pięcioelementowych podzbiorów zbioru sztućców.
\(\overline{\overline{ \Omega }}= { 10\choose 5}= \frac{10! \cdot 5!}{5!}=10!\)
\(A\) podzbiór \(\Omega\)złożony z 5 widelców.
\(\overline{\overline{A}} =1\)
\(P(A)= \frac{1}{10!}\)

zatem A,B,C - Nie
D- Tak

[Januszgolenia]

Coś tu chyba jest nie tak policzone bo powinno być\(=\frac{10!}{5! \cdot 5!}\)
Dobre odpowiedzi w zbiorze to C. i D.

[Galen]

Dobra jest odpowiedź D.
Możesz rozrysować drzewo mające 5 pięter i policzyć .
\(P(N)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{6 \cdot 6 \cdot 7}= \frac{1}{252}\)
N oznacza,że wylosowano nóż,ale jeśli weźmiesz W,że wylosowano widelec,to wszystkie obliczenia powtórzą się.
Możesz liczyć krócej:
\(P(W)=P(N)= \frac{1}{ { 10\choose5 } }= \frac{1}{ \frac{10!}{5! \cdot 5!} }= \frac{5!}{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}= \frac{1}{252}\)

Odpowiedź C byłaby dobra,gdyby było losowanie ze zwracaniem.
Wtedy prawdopodobieństwo dla widelca (dla noża) byłoby w kolejnym etapie równe \(\frac{1}{2}\),a po
pięciu razach da to wynik \(\frac{1}{2^5}\)

[radagast]

Dzieki Galen, oczywiście, masz racje . No i Janusz też

[Kowal1998]

Dobra jest odpowiedź D.
Możesz rozrysować drzewo mające 5 pięter i policzyć .
\(P(N)=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6}= \frac{1}{6 \cdot 6 \cdot 7}= \frac{1}{252}\)
N oznacza,że wylosowano nóż,ale jeśli weźmiesz W,że wylosowano widelec,to wszystkie obliczenia powtórzą się.
Możesz liczyć krócej:
\(P(W)=P(N)= \frac{1}{ { 10\choose5 } }= \frac{1}{ \frac{10!}{5! \cdot 5!} }= \frac{5!}{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}= \frac{1}{252}\)

Odpowiedź C byłaby dobra,gdyby było losowanie ze zwracaniem.
Wtedy prawdopodobieństwo dla widelca (dla noża) byłoby w kolejnym etapie równe \(\frac{1}{2}\),a po
pięciu razach da to wynik \(\frac{1}{2^5}\)

Czyli prawdopodobieństwo wylosowania noża/ widelca to \(\frac{5}{252}\)?