ZAD.
Spośród liczb naturalnych od \(1\) do \(1200\) losujemy bez zwracania 2 liczby \(m\) i \(n\).
Jakie jest p-wo zdarzenia, że liczba
\(2(mn)^2 + m^2\)
jest podzielna przez \(12\) ?
Oto jak ja to próbowałem robić:
\(\Omega = [ (m,n) : m,n = (1,2,...,1200) , m \neq n ]\)
Zdarzeń elementarnych jest więc \(1200\cdot 1199\)
Przechodząc do zdarzenia, liczba jest podzielna przez 12 gdy dzieli się przez 4 i przez 3.
\(2(mn)^2 + m^2\) = \(m^2(2n^2+1)\)
Ponieważ \(2n^2+1\) jest nieparzyste, to nie może być podzielne przez 4. Stąd musi dzielić się przez 3.
Jeśli tak, to \(2n^2+1\in (3,6,9,...,1200)\)
\(2n^2\in (2,5,8,11,...,1199)\)
\(n^2\in(1,\frac{5}{2},4,\frac{11}{2},...,599,\frac{1199}{2})\)
Jeśli \(n\in N\), to \(n\in (1,2,4,5,7,8,10,11,...,22,23)\)
Takich liczb jest więc 16.
\(4|m^2\) , gdy m jest parzyste, a ponieważ \(m\neq n\) , to należy odjąc od wszystkich liczb parzystych ( których w zbiorze jest 600) parzyste n. Jest ich 8, więc wszystkich m będzie \(600-8=592\)
Stąd wszystkich par \((m,n)\) jest \(592\cdot 16\).
Prawdopodobieństwo to już wiadomo jak dalej. Chciałbym żeby ktoś zerknął, czy to jest dobrze. Bo coś mi nie pasuje trochę, może trzeba rozpatrzeć jeszcze jakieś inne przypadki? Nie mam odpowiedzi, nie ma mi kto sprawdzić, więc może na forum.
Pozdrawiam
Prawdopodobieństwo - podzielność przez 12
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Niestety nie do końca prawidłowo ponieważ:
po pierwsze jeśli m jest liczba parzystą podzielna przez 3 to w kwadracie dzieli się przez 12 i n może być wybrane na 1119 sposobów
po drugie jeśli m będzie parzyste i niepodzielne na 3 to jeśli nie zanjduje sie w zbiorze n to n na 16 sposobów, a jeśli parzyste i niepodzielne na 3 i jeśli zanjduje sie w zbiorze liczby n to n ta 15 sposobów rozważ te 3 sytuacje i wtedy będzie ok
po pierwsze jeśli m jest liczba parzystą podzielna przez 3 to w kwadracie dzieli się przez 12 i n może być wybrane na 1119 sposobów
po drugie jeśli m będzie parzyste i niepodzielne na 3 to jeśli nie zanjduje sie w zbiorze n to n na 16 sposobów, a jeśli parzyste i niepodzielne na 3 i jeśli zanjduje sie w zbiorze liczby n to n ta 15 sposobów rozważ te 3 sytuacje i wtedy będzie ok