Kombinatoryka

[Ali19]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań.
1. Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno bez zwracania trzy cyfry a następnie zapisujemy je w kolejności losowania tworząc liczbę trzycyfrową. Ile można w ten sposób utworzyć:
a). dowolnych liczb
b). liczb parzystych
2. Ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno cztery cyfry bez zwracania a następnie zapisujemy je w kolejności tworząc liczbę czterocyfrową. Ile można otzrymać w ten sposób:
a). dowolnych liczb
b). liczb podzielnych przez 25
3. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach należących do zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
a). podzielnych przez 5
b). podzielnych przez 4

[ewelawwy]

1.
\(a)\; 9\cdot 8\cdot 7=504\\
b)\; 4\cdot 8\cdot 7=224\)

[ewelawwy]

2.
a)na początku nie może stać zero więc jest nie 10 a 9 cyfr do wyboru na 1 miejsce, na drugie pozostałe 9 (bez tej która jest na 1 miejscu), na 3 pozostałe 8, a na 4 pozostałe 7
\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536\)
b) dwie ostatnie cyfry to 25, 50 lub 75
-jesli na końcu stoi 25 lub 75 to na 1 miejscu nie może stać 0 wiec jest 7cyfr do wyboru, a na 2 miejscu zostaje też 7 cyfr do wyboru zatem tych liczb jest: \(2\cdot 7\cdot 7=98\)
-jesli na końcu stoi 50, to na pierwszym miejscu stoi cokolwiek z 8 pozostałych cyfr, a na 2 miejscu z 7 pozostałych, zatem liczb jest: \(1\cdot 8\cdot 7=56\)
łącznie takich liczb jest: \(98+56=154\)

[ewelawwy]

3.
a) liczby podzielne przez 5 maja na końcu 0 lub 5
-liczb 5cio cyfrowych o różnych cyfrach z ostatnim 0 jest: \(1\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=3024\)
-liczb 5cio cyfrowych o różnych cyfrach z ostatnią 5 jest: \(1\cdot 8\cdot 8\cdot 7\cdot 6=2688\)
zatem liczb 5cio cyfrowych o różnych cyfrach podzielnych przez 5 jest: 3024+2688=5712

[ewelawwy]

3b)
liczby 5cio cyfrowe o róznych cyfrach podzielne przez 4 mają na końcu jedną z kombinacji:
04,08,12,16,20,24,28,32,36,40,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,92,96
-jeśli na końcu jest jedno z 04,08,20,40,60,80, to na 1 miejscu stoi cokolwiek z 8pozostałych cyfr, na drugim z 7pozostałych a na 3 z 6, czyli łącznie takich liczb jest:
\(6\cdot 8\cdot 7\cdot 6=2016\)
-jeśli na końcu jest jedno z 12,16,24,28,32,36,48,52,56,64,68,72,76,84,92,96, to na 1 miejscu nie może stać 0 czyli stoi 1 z 7pozostałych cyfr, na drugim z 7pozostałych nieużytych dotychczas, a na 3 z 6 pozostałych, czyli łącznie takich liczb jest:
\(16\cdot 7\cdot 7\cdot 6=4704\)

zatem liczb 5ciocyfrowych o róznych cyfrach podzielnych przez 4 jest:
2016+4704=6720