Delegacja, pasażerowie, sześcian

[mcmcjj]

1. Z klasy, w której jest 20 dziewcząt i 5 chłopców wybieramy trzyosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden chłopiec.

2. Pięciu pasażerów wsiada do pustego tramwaju złożonego z trzech wagonów, przy czym każdy wybiera losowo wagon. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.

3. Spośród wierzchołków sześcianu losujemy 3 różne. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą one wierzchołkami trójkąta równobocznego.

[Galen]

1)
Rozważ zdarzenie przeciwne,czyli A'-będą same dziewczyny w delegacji.
P(A)=1-P(A')----liczy się łatwo.
\(\overline{\overline{ \Omega }}= { 25\choose 3}= \frac{25!}{3! \cdot 22!}= \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{6}=2300\\
\overline{\overline{A'}}= {20 \choose 3}= \frac{20!}{3! \cdot 17!}= \frac{18 \cdot 19 \cdot 20}{6}=1140\\
P(A')= \frac{1140}{2300}= \frac{57}{115}\\
P(A)=1-P(A')=1- \frac{57}{115}= \frac{58}{115}\)

[Galen]

2)
Wszystkich możliwości rozmieszczenia pięciu osób w trzech wagonach jest;
\(\overline{\overline{ \Omega }}=3^5=243\)
\(A_1\) oznacza ,że jeden wagon jest pusty
\(\overline{\overline{A_1}}= {3 \choose 1} \cdot (2^5-2)=3 \cdot 30=90\)
Odejmuję dwie możliwości,gdyby wszyscy weszli do jednego wagonu.
\(A_2\) oznacza,że 2 wagony są puste
\(\overline{\overline{A_2}}= { 3\choose 2} \cdot 1 =3\\
P(A)=P(A_1)+P(A_2)= \frac{90}{243}+ \frac{3}{243}= \frac{93}{243}= \frac{31}{81}\)

[Galen]

3)
Już to rozwiązywałem
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 239#p52239

[mcmcjj]

Wielkie dzięki, teraz rozumiem

[Amtematiksonn]

sorki za odkopanie ale dlaczego w 2 nie można zrobić kiedy 1 wagon jest pusty to: \(2^5\) ?

[eresh]

sorki za odkopanie ale dlaczego w 2 nie można zrobić kiedy 1 wagon jest pusty to: \(2^5\) ?

bo ma znaczenie to, który wagon będzie pusty - musisz najpierw wybrać ten pusty (albo wybrać dwa, w których będę pasażerowie) - 3 sposoby, a potem do dwóch (np do wagonu A i do wagonu B) zaprosić pasażerów - na \(2^5\) sposobów - ale tu policzone są też przypadki, że wszyscy wybiorą wagon A lub wszyscy wybiorą wagon B (wtedy dwa wagony byłyby puste). Dlatego od \(2^5\) trzeba odjąć te dwie możliwości

[Amtematiksonn]

a skąd wiadomo, że tutaj ma to znaczenie który wagon będzie pusty?

[eresh]

Bo wagony są rozróżnialne

[Amtematiksonn]

dziękuję za wyjaśnienie