Niech n bedzie liczba naturalną większa od 1. Ze zbioru liczb od 1 do 2n+1 losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzysta
b) suma wylosowanych liczb bedzie większa od 2n+1
opd
a)P(a)=(3n+1)\(4n+2)
b)P(b)=(n+1)\(2n+1)
prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
a) to juz dawno mam ale z tym b) nie mogę sobie poradzić , wychodzi mi inaczej...
No to Ci wyśle chociaż a)
\(\Omega\)-zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\left\{ 1,2,3,...,2n+1\right\}\)
\(\overline{\overline{ \Omega }} = { 2n+1\choose 2 }\)
\(A\) zdarzenie, że iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzysta
\(\overline{\overline{A'}} = { n+1\choose 2}\)
\(P(A)=1-P(A')=1- \frac{ { n+1\choose 2} }{ 2n+1\choose 2 }=1- \frac{ \frac{(n+1)! }{(n-1)! \cdot 2! } }{ \frac{(2n+1)! }{(2n-1)! \cdot 2! } }=1- \frac{ (n+1)! }{(n-1)!} \cdot \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=1- \frac{n(n+1)(n+2)...(2n-1) }{(n+2)(n+3)...(2n+1)}=
1- \frac{(n+1) }{2(2n+1)}= \frac{3n+1}{4n+2}\)
No to Ci wyśle chociaż a)
\(\Omega\)-zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru \(\left\{ 1,2,3,...,2n+1\right\}\)
\(\overline{\overline{ \Omega }} = { 2n+1\choose 2 }\)
\(A\) zdarzenie, że iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzysta
\(\overline{\overline{A'}} = { n+1\choose 2}\)
\(P(A)=1-P(A')=1- \frac{ { n+1\choose 2} }{ 2n+1\choose 2 }=1- \frac{ \frac{(n+1)! }{(n-1)! \cdot 2! } }{ \frac{(2n+1)! }{(2n-1)! \cdot 2! } }=1- \frac{ (n+1)! }{(n-1)!} \cdot \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}=1- \frac{n(n+1)(n+2)...(2n-1) }{(n+2)(n+3)...(2n+1)}=
1- \frac{(n+1) }{2(2n+1)}= \frac{3n+1}{4n+2}\)
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
\(\Omega\) -zbiór par uporządkowanych o elementach ze zbioru {1,2,3...2n+1}
\(\overline{\overline{ \Omega }}=(2n+1)^2\)
\(A\)-zdarzenie że suma wyrazow jest większa niż \(2n+1\)
\(\overline{\overline{A}}= \frac{(2n+1)^2-(2n+1)}{2}=n(2n+1)\)
\(P(A)= \frac{n}{2n+1}\) (troszkę inaczej niż chciałaś ale nie mogę znaleźć błędu)
\(\overline{\overline{ \Omega }}=(2n+1)^2\)
\(A\)-zdarzenie że suma wyrazow jest większa niż \(2n+1\)
\(\overline{\overline{A}}= \frac{(2n+1)^2-(2n+1)}{2}=n(2n+1)\)
\(P(A)= \frac{n}{2n+1}\) (troszkę inaczej niż chciałaś ale nie mogę znaleźć błędu)
-
gpl1260
- Stały bywalec
- Posty: 646
- Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
- Otrzymane podziękowania: 171 razy
- Płeć:
Łatwo policzyć "na palcach".
Niech m i w to odpowiednio mniejsza i większa z dwóch wylosowanych liczb. Oczywiście m<n+1.
Dla m=1 mamy jedną możliwość na w (w=2n+1);
dla m=2 dwie: w=2n i w=2n+1;
.............................
dla m=n jest ich n, mianowicie w=n+2, ..., w=2n+1.
Ogólnie, dla m=1,2,...,n jest dokładnie m dobrych w.
Sumując po m, dostajemy 1+2+...+n=n(n+1)/2.
Tyle jest dobrych par (m,w). Uwalniając się od kolejności, dostajemy 2 razy więcej (dochodzą pary (w,m)).
Szukane prawdopodobieństwo \(\frac{2\cdot\frac{n(n+1)}{2}}{{ 2n+1\choose 2}}=\frac{n+1}{2n+1}\).
Niech m i w to odpowiednio mniejsza i większa z dwóch wylosowanych liczb. Oczywiście m<n+1.
Dla m=1 mamy jedną możliwość na w (w=2n+1);
dla m=2 dwie: w=2n i w=2n+1;
.............................
dla m=n jest ich n, mianowicie w=n+2, ..., w=2n+1.
Ogólnie, dla m=1,2,...,n jest dokładnie m dobrych w.
Sumując po m, dostajemy 1+2+...+n=n(n+1)/2.
Tyle jest dobrych par (m,w). Uwalniając się od kolejności, dostajemy 2 razy więcej (dochodzą pary (w,m)).
Szukane prawdopodobieństwo \(\frac{2\cdot\frac{n(n+1)}{2}}{{ 2n+1\choose 2}}=\frac{n+1}{2n+1}\).
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
To ja mam pytanie : gdzie jast błąd w moim rozumowaniu (tym umieszczonym wyżej)
wyszczególnię:
Wszystkie możliwe wyniki zapisyję w tabeli (2n+1)x)2n+1) (stąd moc omegi)
stwierdzam , że poprawne (te, których suma jest wieksza od (2n+1)) stoją nad przekątną (no to od wszystkich odejmuje le, które stoja na przekątnej i dziele przez dwa).
I otrzymuję błedny wynik.
wyszczególnię:
Wszystkie możliwe wyniki zapisyję w tabeli (2n+1)x)2n+1) (stąd moc omegi)
stwierdzam , że poprawne (te, których suma jest wieksza od (2n+1)) stoją nad przekątną (no to od wszystkich odejmuje le, które stoja na przekątnej i dziele przez dwa).
I otrzymuję błedny wynik.