prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa - problem z obliczeniem cząstkowych prawdopodobieństw

[icek1]

oznaczenia:
A - u badanego osobnika test dał wynik pozytywny
B - badany osobnik jest chory
B' - badany osobnik jest zdrowy
A|B - test dał wynik pozytywny, jeśli badany osobnik jest chory
A|B' - test dał wynik poytywny, jeśli badana osobnik jest zdrowy

wiadomo, że:
P(B)=0,005
P(A|B)=0,93
P(A|B')=0,05
obliczyć:
P(B')=?
P(A|B)*P(B)=?
P(A|B')*P(B')=?
P(A)=? tj. prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny u badanego osobnika
P(B|A)=? tj. prawdopodobieństwo, że badana osobnik jest chory, jeśli test dał wynik pozytywny

Weźmy próbę:
Wśród ... osobników jest ... chorych oraz ...zdrowych.
Wśród chorych test średnio wskaże wynik pozytywny u ... osobników,
oraz u zdrowych u ... osobników.
Czyli wynik pozytywny mają ... osobniki
Wśród nich odsetek osobników chorych to ...

Sporządzić podsumowanie, w którym opiszesz swoje obserwacje nt. zmiany prawdopodobieństwa P(A|B) w zależności od zmiany wartości P(A), P(B) i P(B|A). Jakie wnioski można wyciągnąć na podstawie tych obserwacji.

[janusz55]

Dane
\( P(B) = 0,005. \)
\( P(A|B) = 0,93.\)
\( P(A|B') = 0,05.\)

Obliczyć:
\( P(B') \)
\(P(A|B)\cdot P(B) \)
\( P(A|B')\cdot P(B') \)
\( P(A|B) \)

Oznaczenia:
\(A \) - u badanego osobnika test dał wynik pozytywny
\(B\) - badany osobnik jest chory
\(B'\) - badany osobnik jest zdrowy
\(A|B\) - test dał wynik pozytywny, jeśli badany osobnik jest chory

Rozwiązanie

\( P(B′)=1−P(B)=1−0,005=0,995 =9,95\cdot 10^{-1} \) - prawdopodobieństwo zdarzenia "badany osobnik (pacjent) jest zdrowy".

\(P(A|B)⋅P(B)=P(A∩B)=0,93⋅0,005=4,65⋅10^{-3} \) - prawdopodobieństwo zdarzenia "u badanego pacjenta test dał wynik pozytywny i pacjent jest chory".

\( P(A|B′)⋅P(B′)= P(A∩B′)=P((A∪B)′)=1−P(A∪B) = 0,05\cdot 0,995 = 0,049750= 4,975\cdot 10^{-2}= 49,75\cdot 10^{-3} \)- prawdopodobieństwo zdarzenia " u badanego osobnika test dał wynik negatywny i badany osobnik jest zdrowy".

\( P(A|B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(A\cap B) + P(A\cap B')} = \frac{4,65\cdot 10^{-3}}{4,65\cdot 10^{-3}+ 49,75\cdot 10^{-3}} =0,085478\approx 0,085= 8,5\cdot 10^{-2} \) = prawdopodobieństwo zdarzenia "test dał wynik pozytywny, jeśli badany osobnik jest chory.

Biorąc prostą próbę losową.

Wśród \( 1000 \) osobników jest \( 5 \) chorych oraz \( 995 \) zdrowych.

Wśród chorych osobników test średnio wskaże wynik pozytywny u \( 5 \) i u \( 50 \) osobników zdrowych.

Wynik pozytywny ma \( 55 \) osobników.

Wśród chorych wynik pozytywny ma \( 8,5 \% \) osobników.

[icek1]

Dziękuję za rozwiązanie.

A mi wyszło tak:

P(B) =0,00500 P(B')=0,99500
P(A|B)=0,93000 P(A|B')=0,05000

P(A|B)*P(B)=0,00465 P(A|B')*P(B')=0,04975

P(A)=0,05440 prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny u badanej osoby

P(B|A)=0,08548 prawdopodobieństwo, że badana osoba jest chora, jeśli test dał wynik pozytywny
P(B'|A)=0,91452 prawdopodobieństwo, że badana osoba jest zdrowa, jeśli test dał wynik pozytywny

Weźmy próbę:
Wśród 10000 osób jest 50 chorych oraz 9950 zdrowych.
Wśród chorych test średnio wskaże wynik pozytywny u 4,273897059 osób
oraz u zdrowych u 9099,494485 osób
Czyli wynik pozytywny mają 9103,768382 osoby
Wśród nich odsetek osób chorych to 0,55%

Czy osoby zaokrąglam w górę do liczb całkowitych?

Jak odpowiedzieć na pytanie - opisać swoje obserwacje nt. zmiany prawdopodobieństwa P(A|B) w zależności od zmiany wartości P(A), P(B) i P(B|A). Jakie można wyciągnąć z tego wnioski?

[janusz55]

Tak, zaokrąglamy w górę do liczb naturalnych.

[icek1]

Ale P(A|B) było dane na początku i wynosiło 0.93
Pan obliczył P(A|B)=0.085

Trzeba było wyznaczyć też:
P(A)=? tj. prawdopodobieństwo, że test dał wynik pozytywny u badanego osobnika
P(B|A)=? tj. prawdopodobieństwo, że badana osobnik jest chory, jeśli test dał wynik pozytywny.

[janusz55]

Jak dane jest prawdopodobieństwo \( P(A|B),\) to wystarczy wykonać podstawienie.

Tylko po co piszesz w tytule "prawdopodobieństwo całkowite wzór Bayesa" ?

Żeby opisać wszelkie zmiany frakcji - musimy pobrać dane - próbę losową.

[icek1]

Ano tak .