Kombinatoryka i Prawdopodobństwo

[Bartek321sinus]

Treść zadania:
W skład pociągu osobowego wchodzi lokomotywa (która znajduje się na początku składu) i n > 5 wagonów osobowych, wśród których są dokładnie trzy wagony pierwszej klasy. Liczba takich ustawień kolejności wagonów, w których trzy wagony pierwszej klasy znajdują się bezpośrednio za sobą jest 12 razy mniejsza niż liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą. Oblicz n .

[janusz55]

Liczba ustawień wagonów, w których trzy wagony są połączone ze sobą:

Trzy połączone wagony "przesuwamy" wzdłuż n - wagonów. Takich przesunięć jest \( (n-2). \)

Pozostałe \( (n-3) \) wagony możemy ustawić na \( (n-3)! \) sposobów.

Trzy wagony między sobą możemy ustawić na \( 3!\) sposoby.

Z reguły mnożenia: liczba ustawień wagonów, w których trzy wagony są połączone między sobą jest równa \( (n-1)\cdot (n-3)! \cdot 3!.\)

Liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą.

Liczbę sposobów ustawień trzech połączonych wagonów w środku składu pociągu, czyli na \( (n-3) \) miejscach.

Takich ustawień jest tyle, ile kombinacji z \( n-2 \) elementów po dwa elementy to jest \( {n-2 \choose 3}.\)

Pozostałe wagony ustawimy na \( (n-3)!.\)

Trzy wagony między sobą możemy ustawić na \( 3!\) sposoby.

Z reguły mnożenia - liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą wynosi:

\( {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3! \)

Z treści zadania wynika równość:

\( 12\cdot (n-2)\cdot (n-3)! \cdot 3! = {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3! \)

Z tego równania obliczamy \( n\in \nn, \ \ n> 5 \) - liczbę wagonów.

\( 12\cdot (n-2) \cdot (n-3)! \cdot 3! = {n-2 \choose 3} \cdot (n-3)! \cdot 3! \ \ |\cdot \frac{1}{n-3)!} \cdot 3!\)

\( 12(n-2) = {n-2\choose 3} \)

\( 12(n-2) = \frac{(n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)}{1\cdot 2 \cdot 3} \ \ |\cdot \frac{1}{(n-2)} \)

\(12 = \frac{(n-3)\cdot (n-4)}{6} | \cdot 6\)

\( 72 = (n-3)\cdot (n-4) \)

\( 72 = n^2 - 4n -3n +12 \)

\( n^2 -7n -60 = 0 \)

\( \Delta = (-7)^2 -4\cdot 1 \cdot (-60) = 289.\)

\( n_{1} = \frac{7 - \sqrt{289}}{2} = \frac{7 -17}{2} = -\frac{10}{2} = -5< 0\)

\(n_{2} = \frac{7 + \sqrt{289}}{2} = \frac{7 +17}{2} = \frac{24}{2} = 12.\)

Odpowiedź: w skład pociągu wchodzi lokomotywa i \( 12 \) wagonów.

[Bartek321sinus]

Dziękuję bardzo

[milo282]

Liczba ustawień wagonów, w których trzy wagony są połączone ze sobą:

Trzy połączone wagony "przesuwamy" wzdłuż n - wagonów. Takich przesunięć jest \( (n-2). \)

Pozostałe \( (n-3) \) wagony możemy ustawić na \( (n-3)! \) sposobów.

Trzy wagony między sobą możemy ustawić na \( 3!\) sposoby.

Z reguły mnożenia: liczba ustawień wagonów, w których trzy wagony są połączone między sobą jest równa \( (n-1)\cdot (n-3)! \cdot 3!.\)

Liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą.

Liczbę sposobów ustawień trzech połączonych wagonów w środku składu pociągu, czyli na \( (n-3) \) miejscach.

Takich ustawień jest tyle, ile kombinacji z \( n-2 \) elementów po dwa elementy to jest \( {n-2 \choose 3}.\)

Pozostałe wagony ustawimy na \( (n-3)!.\)

Trzy wagony między sobą możemy ustawić na \( 3!\) sposoby.

Z reguły mnożenia - liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą wynosi:

\( {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3! \)

Z treści zadania wynika równość:

\( 12\cdot (n-2)\cdot (n-3)! \cdot 3! = {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3! \)

Z tego równania obliczamy \( n\in \nn, \ \ n> 5 \) - liczbę wagonów.

\( 12\cdot (n-2) \cdot (n-3)! \cdot 3! = {n-2 \choose 3} \cdot (n-3)! \cdot 3! \ \ |\cdot \frac{1}{n-3)!} \cdot 3!\)

\( 12(n-2) = {n-2\choose 3} \)

\( 12(n-2) = \frac{(n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)}{1\cdot 2 \cdot 3} \ \ |\cdot \frac{1}{(n-2)} \)

\(12 = \frac{(n-3)\cdot (n-4)}{6} | \cdot 6\)

\( 72 = (n-3)\cdot (n-4) \)

\( 72 = n^2 - 4n -3n +12 \)

\( n^2 -7n -60 = 0 \)

\( \Delta = (-7)^2 -4\cdot 1 \cdot (-60) = 289.\)

\( n_{1} = \frac{7 - \sqrt{289}}{2} = \frac{7 -17}{2} = -\frac{10}{2} = -5< 0\)

\(n_{2} = \frac{7 + \sqrt{289}}{2} = \frac{7 +17}{2} = \frac{24}{2} = 12.\)

Odpowiedź: w skład pociągu wchodzi lokomotywa i \( 12 \) wagonów.

Witam mam pytanie do naszej 2 opcji. Nie powinno być (n-4)⋅3!⋅(n−3)! ? Zakładając n jako 6 to spośród dostępnych opcji 1,2,3,4,5,6 możemy ustawić wagony tylko na 2,3,4 lub 3,4,5. Dla innych n tak samo się to zachowuje. Oprócz tego jak mamy powiedziane w zadaniu, że opcja 1 jest 12 razy mniejsza od opcji 2 (powiedzmy, że opcja 1=x) to opcja 2 powinna być 12x prawda? Idąc tym tropem czy nie powinniśmy mieć zatem 12 razy nasza opcja 2? Pozdrawiam

[janusz55]

Nie! Zadanie jest rozwiązane poprawnie. Typowy schemat kombinatoryczny ustawień wagonów.

Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości co do poprawności tego rozwiązania - proszę przedstawić dokładnie swoje rozwiązanie. Nie rozumiem Twojego rozwiązania.

[Cypis]

Wystarczy skupić się tylko na wagonach I klasy.
\(A\) - zdarzenie: 3 wagony I klasy znajdują się bezpośrednio za sobą.
Możliwe ustawienia wagonów w kolejności \((1,2,3), (2,3,4), ..., (n-1,n-2,n-3)\), zatem
\(\bar{\bar{A}} = n-1\)

\(B\) - zdarzenie: żaden z wagonów I klasy nie znajduje się z przodu ani na końcu składu.
Zatem wagon I klasy nie znajduje się na miejscu pierwszym i \(n\)-tym, czyli miejsc do obstawienie mamy \(n-2\).
Liczba takich ustawień jest równa liczbie kombinacji \(3\)-elementowych ze zbioru \(n-2\) elementowego.
\(\bar{\bar{B}} = \left( \begin{array}{c} n-2 \\ 3 \end{array} \right)\)

Otrzymujemy równanie:
\(12(n-2) = \frac{(n-2)!}{3!(n-5)!}\)
Po uproszczeniu, uwzględniając, że \(n \in N \wedge n > 5\) mamy:
\((n-4)(n-3) = 72\)
Po lewej mamy iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, z czego wynika, że liczbami tymi są \(8\) i \(9\), zatem \(n = 12\)

Powodzenia na maturze!

[janusz55]

\( {\bar{B}} = \left( \begin{array}{c} n-2 \\ 3 \end{array} \right).\)

To nie jest prawda, nie można stosować takich skrótów.

[Maciek32]

\( {\bar{B}} = \left( \begin{array}{c} n-2 \\ 3 \end{array} \right).\)

To nie jest prawda, nie można stosować takich skrótów.

Piękne!
Sam napisał i sam podważył prawdziwość swoich wpisów

[Cypis]

\( {\bar{B}} = \left( \begin{array}{c} n-2 \\ 3 \end{array} \right).\)

To nie jest prawda, nie można stosować takich skrótów.

To nie skrót, tylko inne podejście do rozwiązania. Na samym wstępie napisałem, że w tym sposobie bierzemy tylko ilość ustawień wagonów klasy I, a nie całego składu pociągu, bo to nie jest konieczne przy takiej treści zadania. Nie potrzebujemy też ustalać kolejności wagonów klasy I względem siebie, tzn. ustalając, że wagony klasy I mają numery W1, W2, W3, to ustawienie {W1, W2, W3} i {W2, W1, W3} traktujemy jako tożsame, zatem mamy do czynienia z kombinacjami, a nie wariacjami.

Możliwe ustawienia wagonów w kolejności \((1,2,3), (2,3,4), ..., (n-1,n-2,n-3)\)

Oczywiście, miało być \((1,2,3), (2,3,4), ..., (n-2,n-1,n)\)

[Cypis]

\(\bar{\bar{A}} = n-1\)

Poprawka: \(\bar{\bar{A}} = n-2\).
Teraz wszystko powinno być OK.

[janusz55]

Można "piać do piękności", jeśli rozważy się cały schemat kombinatoryczny:

\( {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3!,\) (liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą), a nie wyrwany jego element \( {n-2 \choose 3}\) po uproszczeniu.

Najgorsze jest to, że ktoś chce "dopiec", nie mając pojęcia o tego typu zadaniach.

[Cypis]

Można "piać do piękności", jeśli rozważy się cały schemat kombinatoryczny:

\( {n-2 \choose 3}\cdot (n-3)! \cdot 3!,\) (liczba ustawień wagonów, w których żaden z wagonów pierwszej klasy nie znajduje się ani na końcu pociągu ani bezpośrednio za lokomotywą), a nie wyrwany jego element \( {n-2 \choose 3}\) po uproszczeniu.

Najgorsze jest to, że ktoś chce "dopiec", nie mając pojęcia o tego typu zadaniach.

czy ktoś tu komuś próbuję "dopiec"?
Wystarczy przyjąć, że są różne sposoby na rozwiązanie zadania, zwłaszcza z kombinatoryki. Na studiach szerzej się omawia różne podejścia do takich problemów w zależności od tego, co faktycznie trzeba policzyć.
Nie rozumiem, dlaczego upierasz się, że tylko twoje rozwiązanie jest poprawne. Jest to jedno z kilku podejść, po prostu.

[janusz55]

Cypis, to nie aluzja do Ciebie!

Nie można upraszczać przyjętych schematów kombinatorycznych o ustawianiu w kolejce (w rzędzie) osób, przedmiotów.

Za Twoje rozwiązanie zadania za 5 punktów, dałbym maksymalnie połowę 2,5 pkt.

[Cypis]

Cypis, to nie aluzja do Ciebie!

Nie można upraszczać przyjętych schematów kombinatorycznych o ustawianiu w kolejce (w rzędzie) osób, przedmiotów.

Za Twoje rozwiązanie zadania za 5 punktów, dałbym maksymalnie połowę 2,5 pkt.

Jesteś nauczycielem albo egzaminatorem, że tak uważasz?
W zadaniu nie było mowy o tym, że konieczne jest ustalenie kolejności wagonów całego pociągu łącznie z numerowaniem każdego wagonu. W takim wypadku bym się z tobą zgodził, że należałoby policzyć liczbę możliwości wg twojego sposobu.
W moim podejściu skupiam się na pytaniu: Na ile sposobów mogę wybrać 3 miejsca dla wagonów I klasy spośród n-2 miejsc?
Podobnie, jak w pytaniu: Na ile sposobów mogę wybrać delegację 3-osobową spośród n-2 osób?
Sam widzisz, że po skróceniu obaj dochodzimy do tego samego równania.
Przy okazji polecam książkę "Aspekty kombinatoryki"

[janusz55]

Byłem wykładowcą, egzaminatorem na uczelniach i nauczycielem w liceach. Przystaję przy swoim.

Znam polecaną książkę Bryanta V. Aspekty Kombinatoryki. Mam jej pierwsze wydanie.

Polecam Ci szerszą pozycję: Witold Lipski, Wiktor Marek. Analiza kombinatoryczna PWN. Warszawa 1986.