rozklad jednostajny

[igor234]

a) Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [−2, 2]. Wyznaczyć rozkład zm. los. \(𝑌=𝑋^2\) oraz zm. los. 𝑍=2𝑋−1.
b) Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1. Wyznaczyć rozkład zm. los. \(𝑌=𝑒^{−𝑋} \)oraz zm. los. 𝑍=2𝑋−1.

prosze o pomoc

[janusz55]

\(a_{1}) \)
Metoda dystrybuanty

\( F_{Y}(y) = Pr(\{Y\leq Y\}) = Pr(\{X^2\leq y\}) = Pr(\{ -\sqrt \leq X \leq \sqrt{y}\})= \frac{2\sqrt{y}}{4} =\frac{1}{2}\sqrt{y}. \)

Gęstość zmiennej losowej \( Y \)

\( f_{Y}(y) = \left(\frac{1}{2}\sqrt{y}\right)' = \frac{1}{4}y^{-\frac{1}{2}} . \)

\( f_{Y}(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}y^{-\frac{1}{2}}I_{[0,4]} \ \ \text{gdy},\ \ y\in [0, 4] \\ 0 \ \ \text{gdy}, \ \ y \notin [0, 4] \end{cases}\)

\( a_{2}) \)

Podobnie
\( F_{Z}(z) = Pr(\{Z\leq z \}) = Pr(\{ 2x + 1 \leq z \}) = Pr(\{x \leq \frac{z-1}{2}\}) = ... \)

\( b_{1}), b_{2}) \) tak samo w oparciu o metodę dystrybuanty lub twierdzenie o rozkładzie funkcji zmiennej losowej.

[igor234]

choliera wie jak to dalej pociagnac

[janusz55]

\( a_{2})\)
Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego na przedziale \( [-2, 2] \)

\( f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x<-2, \\ \frac{1}{2-(-2)}= \frac{1}{4} \ \ \text{dla} \ \ -2\leq x \leq 2, \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ x>2. \end{cases} \)

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \( Z = 2X -1 \)

\( F_{Z}(z) = P(Z \leq z) = P(2X-1 \leq z) = P \left(X\leq \frac{z+1}{2}\right) =\int_{0}^{\frac{z+1}{2}} f_{X}(u)du. \)

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

\( f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \frac{1}{2}f_{X}\left(\frac{z+1}{2}\right). \)

Stąd

\( f_{Z}(z) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ z<-3, \\ \frac{1}{3-(-3)} = \frac{1}{6} \ \ \text{dla} \ \ -3\leq z \leq 3, \\ 0 \ \ \text{dla} \ \ z>3. \end{cases}.\)

[janusz55]

\( b_{1})\)
Zmienna losowa \( X \) ma gęstość

\( f_{X}(x) = e^{-x} I_{[0,\infty)}. \)

Mamy wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \( Y = e^{-X}.\)

\( F_{Y}(y) = P(\{Y\leq y\}) = P(\{e^{-x}\leq y\}) = P(\{-x\leq\ln(y)\}) = P(\{x> -\ln(y)\}) = 1 - P(\{x< -\ln(y)\}) = 1 - \int_{0}^{-\ln(y)}f_{X}(t)dt.\)

Stąd

\( f_{Y}(y) = F'_{Y}(y) = -\frac{-1}{y}f_{X}(-\ln(y))= -\frac{1}{y}e^{-\ln(y)} = -\frac{1}{y}\cdot (-y) = 1\cdot I_{(0,1]} \)

Zmienna losowa \( Y = e^{-X} \) ma rozkład jedynkowy:

\( f_{Y}(y) = \begin{cases} 0 \ \ \text{jeśli} \ \ y\leq 0, \\ 1 \ \ \text{jeśli} \ \ 0 < y \leq 1, \\ 0 \ \ \text{jeśli} \ \ y>1. \end{cases}. \)

[janusz55]

Korekta

\( F_{Y}(y) = P(\{Y\leq y\}) = P(\{e^{-x}\leq y\}) = P(\{-x\leq\ln(y)\}) = P(\{x> \ln\left(\frac{1}{y}\right)\}) = 1 - P(\{x\leq \ln\left(\frac{1}{y}\right)\}) = 1 - \int_{0}^{\ln(\frac{1}{y})} f_{X}(t)dt.\)

Stąd

\( f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)= \frac{1}{y}f_{X}\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{y}e^{-\ln\frac{1}{y}} =\frac{1}{y}e^{\ln(y)} = \frac{1}{y}\cdot y = 1. \)

Zmienna losowa \( Y = e^{-X} \) ma rozkład jedynkowy:

\( f_{Y}(y) = \begin{cases} 0 \ \ \text{jeśli} \ \ y < 0, \\ 1 \ \ \text{jeśli} \ \ 0 \leq y \leq 1, \\ 0 \ \ \text{jeśli} \ \ y>1. \end{cases}. \)

[janusz55]

\( b_{2} \)

Rozkład zmiennej losowej \( Z = 2X -1 \)

\(F_{Z}(z) = P(\{Z\leq z\}) = P(\{(2x-1\leq z\}) = P\left(\{x\leq \frac{z+1}{2}\}\right) = F_{X}\left(\{\frac{z+1}{2}\}\right)= \int_{0}^{\frac{z+1}{2}} f_{X}\left(\frac{s+1}{2}\right)ds .\)

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

\( f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \frac{1}{2}f_{X}\left(\frac{z+1}{2}\right) \)

Uwzględniając rozkład wykładniczy z parametrem \( \lambda =1 \) zmiennej losowej \( X,\) otrzymujemy rozkład zmiennej losowej \( Z=2X-1 \)

\(f_{Z}(z) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ z<-1, \\ \frac{1}{2}e^{-\frac{z+1}{2}} \ \ \text{dla} \ \ z\geq 1. \end{cases} \)

[janusz55]

\( b_{2} \)

Rozkład zmiennej losowej \( Z = 2X -1 \)

\(F_{Z}(z) = P(\{Z\leq z\}) = P(\{(2x-1\leq z\}) = P\left(\{x\leq \frac{z+1}{2}\}\right) = F_{X}\left(\{\frac{z+1}{2}\}\right)= \int_{0}^{\frac{z+1}{2}} f_{X}\left(\frac{s+1}{2}\right)ds .\)

Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

\( f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \frac{1}{2}f_{X}\left(\frac{z+1}{2}\right) \)

Uwzględniając rozkład wykładniczy z parametrem \( \lambda =1 \) zmiennej losowej \( X,\) otrzymujemy rozkład zmiennej losowej \( Z=2X-1 \)

\(f_{Z}(z) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ z<-1, \\ \frac{1}{2}e^{-\frac{z+1}{2}} \ \ \text{dla} \ \ z\geq =-1. \end{cases} \)