5 liczb z 25 - prawdopodobieństwo, że dwie są sąsiednie

[WojtekWojtek]

Witam. Poległem na takim zadaniu:
Losujemy 5 liczb ze zbioru 25 liczb naturalnych od 1 do 25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych liczb będzie przynajmniej jedna para liczb sąsiednich (czyli np. 1 i 2, 7 i 8 itp)?
Proszę o pomoc w rozwiązaniu, nie tylko wynik.

[kerajs]

Moim zdaniem łatwiej wyliczyć zdarzenie przeciwne, Rozpatruję cztery przypadki:
a) wśród wylosowanych jest 1 i 25.
Układów 1_x_x_x_25 jest \( {20-1 \choose 4-1 } \)
b) wśród wylosowanych jest 1, ale nie 25.
Układów 1_x_x_x_x_ jest \( {20-1 \choose 5-1 } \)
c) wśród wylosowanych jest 25, ale nie 1.
Układów _x_x_x_x_25 jest \( {20-1 \choose 5-1 } \)
d) wśród wylosowanych nie ma 1 i 25,
Układów _x_x_x_x_x_ jest \( {20-1 \choose 6-1 } \)

\(P=1- \frac{ { 19 \choose 3} + 2{ 19 \choose 4} +{ 19 \choose 5} }{{ 25 \choose 5} } \)

[Jerry]

Zgadzam się, że łatwiej wyliczyć zdarzenie przeciwne... Wg moich dłuuugich przemyśleń:
Ustawmy dane liczby w ciągu rosnący. Wyników losowania liczb \(a<b<c<d<e\) nie spełniających warunków zadania jest tyle, ile rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich równania
\[(x_1-1)+x_2+x_3+x_4+x_5+(x_6-1)=20\\
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=22\]
gdzie \((x_1-1)\) oznacza liczbę liczb mniejszych od \(a\), \(x_2\) liczbę liczb pomiędzy \(a\) i \(b\), ... \((x_6-1)\) liczbę liczb większych od \(e\). Np. rozwiązanie \((6,3,4,2,1,6)\) oznacza wybór \(\{6,10,15,18,20\}\).
Ponieważ to równanie ma \({21\choose5}\) rozwiązań, to poszukiwane p-wo jest równe
\[p(A)=1-\frac{{21\choose5}}{{25\choose5}}=\ldots\]
Pozdrawiam
PS. Nie wiem, czy moja odpowiedź jest zgodna z odpowiedzią kerajsa, ale to można łatwo sprawdzić

[edited] To rzeczywiście ze szkoły ponadpodstawowej?

[kerajs]

Bez liczenia, a jedynie z położenia na trójkącie Pascala użytych współczynników dwumiennych widać, że wyniki są identyczne.

[WojtekWojtek]

dzięki za podpowiedzi zobaczę co mi z tego wyjdzie

[WojtekWojtek]

po obliczeniach nie wychodzi, że jest to samo. Odpowiedź kerajs jest OK, ale po obliczeniu Jerry wychodzi błąd. I jest to III LO odpowiadając na pytanie po edycji.

[Jerry]

po obliczeniach nie wychodzi, że jest to samo...

Sprawdziłem w znanym portalu:

i bardziej uczenie, z sugerowanego przez kerajsa faktu:
\[{n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}\]
(dla dobrze określonych \(n,\ k\)), mamy
\[{ 19 \choose 3} + 2{ 19 \choose 4} +{ 19 \choose 5}=\left({ 19 \choose 3} +{ 19 \choose 4}\right)+ \left({ 19 \choose 4} +{ 19 \choose 5}\right)=\\={ 20 \choose 4}+{ 20 \choose 5}={ 21 \choose 5}\]
Pozdrawiam
PS. Skoro LO, to szkoła olimpijska

[anilewe_MM]

Takich zadań to nasz profesor nie dawał.
Rozwiązanie @Jerry ogarnęłam, bo to z "patyczkami", ale w wiadomości @kerajs nie wiem jak to jest liczone

[kerajs]

To dziwne, gdyż to ta sama metoda liczenia.
Przykładowo, w przypadku

a) wśród wylosowanych jest 1 i 25.
Układów 1_x_x_x_25 jest \( {20-1 \choose 4-1 } \)

w luki między 1, trzy pewne liczby X i 25 muszę wstawić pozostałe 20 liczb, czyli musze podzielić 20 patyczków na 4 części.