Rozkład normalny

[atasays]

Wewnętrzne 40% populacji zmiennej o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale <100;150>. Jakie są parametry tego rozkładu? (średnia i odchylenie)

[korki_fizyka]

Podobnie https://forum.zadania.info/viewtopic.ph ... ny#p332335 tylko w drugą stronę.

[janusz55]

\( \int_{100}^{150} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} dx = 0,40. \)

[panb]

Wewnętrzne 40% populacji zmiennej o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale <100;150>. Jakie są parametry tego rozkładu? (średnia i odchylenie)

\(\mu \text{ i } \sigma\) - nieznane parametry rozkładu
\(P(100<X<150)=0,4 \iff P \left( \frac{100-\mu}{\sigma} < \frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{150-\mu}{\sigma} \right)=0,4\)
Zmienna \(U=\frac{X-\mu}{\sigma}\) ma rozkład normalny N(0,1).

Szukamy takich t i s, aby \( \begin{cases} \frac{150-\mu}{\sigma}=t+s\\ \frac{100-\mu}{\sigma}=t-s\end{cases} \)
Nietrudne obliczenia prowadzą do wyniku: \(t= \frac{125-\mu}{\sigma},\,\,\, s= \frac{25}{\sigma} \)

Bierzemy \(\mu=125\) i szukamy takiego s, aby \(P(|U|<s)=0,4\).

W tablicach (ja w Excelu) znajdujemy s=0,5244, więc \(\sigma = \frac{25}{s}=47,67 \).

Odpowiedź: Jeśli wewnętrzne 40% populacji zmiennej o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale <100;150>, to średnia \(\mu=125\), a odchylenie \( \sigma=47,67\)

Sprawdzając w Excelu to przypuszczenie otrzymujemy wartość 40% z bardzo dobrą dokładnością.
Polecenie: ROZKŁAD.NORMALNY(150;125;47,67;PRAWDA)-ROZKŁAD.NORMALNY(100;125;47,67;PRAWDA)

No i jeszcze ilustracja:

[janusz55]

\(\int_{100}^{150} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} dx = 0,40.\)

Standaryzacja -zamiana zmiennych w całce

\( \frac{x-\mu}{\sigma} = t ,\ \ dx = \sigma \cdot dt.\)

\( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\frac{100-\mu}{\sigma}}^{\frac{150 -\mu}{\sigma}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt = 0,40\)

\( \phi\left(\frac{150 -\mu}{\sigma}\right) - \phi \left(\frac{100 -\mu}{\sigma}\right) = 0,40\)

\( \mu = \frac{100+150}{2} =125 \) (środek przedziału).

\( \phi\left( \frac{150 -125}{\sigma}\right) - \phi\left(\frac{100 -125}{\sigma}\right) = 0,40.\)

\( \phi\left (\frac{25}{\sigma} \right) - \phi\left(\frac{-25}{\sigma}\right) = 0,40.\)

\( \phi\left (\frac{25}{\sigma} \right) -1 + \phi\left(\frac{25}{\sigma}\right) = 0,40.\)

\( 2\phi \left(\frac{25}{\sigma}\right) = 1,40 \)

\( \phi \left(\frac{25}{\sigma}\right) =0,70 \)

\( \frac{25}{\sigma} = \phi^{-1}\left(\frac{25}{\sigma}\right) \approx 0,52 \)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 qnorm(0.7)
[1] 0.5244005

\( \frac{25}{\sigma} \approx 0,52\)

\( \sigma = \frac{25}{0,52} \)

\( \sigma = 48.\)

\( \mathcal{N}(\mu, \sigma) = \mathcal{N}( 125, \ \ 48). \)