Dwa zadania z kombinatoryki.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gr4vity
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 35
Rejestracja: 17 sty 2021, 19:12
Podziękowania: 12 razy

Dwa zadania z kombinatoryki.

Post autor: gr4vity » 22 lut 2021, 18:15

Zadanie nr 1. Na ile sposobów można wylosować z talii cztery karty tak aby:
- wśród nich były co najmniej dwie karty tego samego koloru.
Wiem, że to zadanie mogę zrobić zdarzeniem przeciwnym i wynik wyjdzie bardzo szybko, ale zabrałem się za to również od drugiej strony i zastanawia mnie jak sprytnie mogę pozbyć się przypadków które się nakładają na siebie.
1) Wszystkie są tego samego koloru: \({13 \choose 4}*4=2860\)
2) Trzy karty są tego samego koloru jedna jest innego: \({13 \choose 3}*4*{39 \choose 1}=44616\)
3) Dwie karty są tego samego koloru a pozostałe dwie są inne. Jak zapisać ten przypadek? W tym przypadku wynik powinien
wyjść 194 688.
Zadanie nr 2.
Sześć ponumerowanych kul rozmieszczamy losowo w dwóch z czterech zielonych pudełek w następujący sposób: losujemy najpierw pudełka, w których chcemy umieścić kule a następnie losowo wkładamy kule do wybranych pudełek. Ile jest rozmieszczeń tych kul tak aby wszystkie znalazły się
a) Tylko w dwóch pudełkach zielonych.
Rozwiązałem to zadanie w ten sposób:
\({4 \choose 2}*(2^6-2)=372\) To jest poprawny wynik.
Natomiast naszła mnie również myśl, że przecież pudełka są tego samego koloru zatem w obrębie dwóch zielonych pudełek nie ma znaczenia czy w pierwszej jest kulka 1,2,3 a w drugiej 4,5,6 czy w pierwszej 4,5,6 a w drugiej 1,2,3. Zrobiłem zatem:
\({4 \choose 2}*({6 \choose 5}*{1 \choose 1}+{6 \choose 4}*{2 \choose 2}+{6 \choose 3}*{3 \choose 3})\) Natomiast w tym przypadku wynik jest błędny. Czy kombinacje nie powinny być w tym przypadku użyte dlatego ponieważ w momencie wybrania dwóch zielonych pudełek one zyskują rozróżnialność, czy jest do tego jakiś inny powód?

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 843
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 378 razy

Re: Dwa zadania z kombinatoryki.

Post autor: Jerry » 22 lut 2021, 22:18

gr4vity pisze:
22 lut 2021, 18:15
Zadanie nr 1.
3) Dwie karty są tego samego koloru a pozostałe dwie są inne.
Z dwóch kolorów po dwie karty albo z jednego dwie i z dwóch po jednej, czyli
\({4\choose2}\cdot{13\choose2}\cdot{13\choose2}+{4\choose1}\cdot {13\choose2}\cdot{3\choose2}\cdot{13\choose1}\cdot{13\choose1}=\cdots\)

Pozdrawiam
PS. Zweryfikuj, proszę, wynik
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 843
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 378 razy

Re: Dwa zadania z kombinatoryki.

Post autor: Jerry » 22 lut 2021, 22:25

gr4vity pisze:
22 lut 2021, 18:15
Zadanie nr 2.
... w momencie wybrania dwóch zielonych pudełek one zyskują rozróżnialność, ...
Dokładnie tak jest!

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .