Niezależność zmiennych losowych

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
404exe
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 13 wrz 2020, 17:39
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Niezależność zmiennych losowych

Post autor: 404exe » 15 wrz 2020, 13:54

Witam
Posiadam problem z takimi dwoma zadaniami.
Z powodu zgubienia pdf'a z wykładem na ten temat totalnie nie wiem jak z tym ruszyć.

Zadanie_1
Niech X, Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że zmienna X ma rozkład
jednostajny w przedziale [0, 1], a zmienna Y ma rozkład wykładniczy z parametrem
\(λ=\frac{1}{3}\)
Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowego
wektora losowego (X, Y ).

Zadanie_2
Niezależne zmienne losowe X, Y mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem
\(λ=\frac{1}{2}\)
Wyznaczyć macierz kowariancji dwuwymiarowego wektora losowego
X = (X, X + 2Y ).

Z góry dziękuje za pomoc.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3747
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 1337 razy
Płeć:

Re: Niezależność zmiennych losowych

Post autor: panb » 18 wrz 2020, 16:08

404exe pisze:
15 wrz 2020, 13:54
Witam
Posiadam problem z takimi dwoma zadaniami.
Z powodu zgubienia pdf'a z wykładem na ten temat totalnie nie wiem jak z tym ruszyć.

Zadanie_1
Niech X, Y będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi, że zmienna X ma rozkład
jednostajny w przedziale [0, 1], a zmienna Y ma rozkład wykładniczy z parametrem
\(λ=\frac{1}{3}\)
Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowego
wektora losowego (X, Y ).
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to gęstość rozkładu łącznego \(f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)\), gdzie w naszym przypadku
\[f_X(x)= \begin{cases}1&\text{dla}&0\le x \le 1\\0&&\text{w p. p.} \end{cases} \qquad f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{3}e^{ -\frac{1}{3}y }&\text{dla}&x\ge 0\\0&&\text{w p. p.}\end{cases} \]
Wobec tego

Odpowiedź: funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ) \[f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{3}e^{ -\frac{1}{3}y }&\text{dla}&0\le x \le 1\\0&&\text{w p. p.}\end{cases} \]


Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3747
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 1337 razy
Płeć:

Re: Niezależność zmiennych losowych

Post autor: panb » 18 wrz 2020, 16:35

404exe pisze:
15 wrz 2020, 13:54
Witam
Posiadam problem z takimi dwoma zadaniami.
Z powodu zgubienia pdf'a z wykładem na ten temat totalnie nie wiem jak z tym ruszyć.

Zadanie_2
Niezależne zmienne losowe X, Y mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem
\(λ=\frac{1}{2}\)
Wyznaczyć macierz kowariancji dwuwymiarowego wektora losowego
X = (X, X + 2Y ).

Z góry dziękuje za pomoc.
Macierz kowariancji wektora losowego \( \left( X_1,X_2\right) \) ma postać: \( \begin{bmatrix}\sigma^2_1&\sigma_{1,2}\\ \sigma_{2,1}&\sigma^2_2 \end{bmatrix} \), gdzie
\(\sigma_i=D^2(X_i)\\
\sigma_{i,j}={Cov}(X_i,X_j)\)


W naszym przypadku \(X_1=X,\,\,\, X_2=X+2Y\), więc
\(\sigma^2_1=D^2(X)= \frac{1}{\lambda^2}=4 \\
\sigma^2_2=D^2(X+2Y)=D^2(X)+2^2D^2(Y)=4+4\cdot4=20\\
\sigma_{1,2}=\sigma_{2,1}=E[X\cdot(X+2Y)]-EX\cdot E(X+2Y)=EX^2+2E(XY)-EX(EX+2EY)=\\
=EX^2+2EXEY-(EX)^2-2EXEY=EX^2-(EX)^2=D^2(X)=4\)

Odpowiedź: Macierz kowariancji wektora (X,X+2Y) ma postać \( \begin{bmatrix}4&4\\4&20 \end{bmatrix} \)