losowanie liczb z przdziału

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
attec18
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 68
Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

losowanie liczb z przdziału

Post autor: attec18 »

Liczby a,b,c zostały wylosowane z przedziału [0, 1]. Oblicz prawdopodobieństwo tego że max{a,b,c} − min{a,b,c} ≤ 2/3.
octahedron
Expert
Expert
Posty: 6762
Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
Otrzymane podziękowania: 3034 razy
Płeć:

Re: losowanie liczb z przdziału

Post autor: octahedron »

Liczby \(a,b,c\) możemy traktować jako współrzędne punktu w sześcianie \([0,1]\times[0,1]\times[0,1]\). Szukane prawdopodobieństwo będzie równe objętości części sześcianu, gdzie nierówność jest spełniona.

\(\mathbb{max}\{a,b,c\} − \mathbb{min}\{a,b,c\} \le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}|a-b|\le\frac{2}{3}\\|b-c|\le\frac{2}{3}\\|c-a|\le\frac{2}{3}\end{cases}\)

W płaszczyźnie \(ab\) mamy:

\(|a-b|\le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad b-\frac{2}{3}\leq a\le b+\frac{2}{3}\)

czyli z kwadratu \([0,1]\times[0,1]\) odcinamy dwa narożniki (czyli dwie krawędzie z sześcianu). Analogicznie w pozostałych płaszczyznach. Zostaje bryła o objętości \(\frac{20}{27}\)
ODPOWIEDZ