losowanie liczb z przdziału
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Expert
- Posty: 6762
- Rejestracja: 19 mar 2011, 00:22
- Otrzymane podziękowania: 3034 razy
- Płeć:
Re: losowanie liczb z przdziału
Liczby \(a,b,c\) możemy traktować jako współrzędne punktu w sześcianie \([0,1]\times[0,1]\times[0,1]\). Szukane prawdopodobieństwo będzie równe objętości części sześcianu, gdzie nierówność jest spełniona.
\(\mathbb{max}\{a,b,c\} − \mathbb{min}\{a,b,c\} \le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}|a-b|\le\frac{2}{3}\\|b-c|\le\frac{2}{3}\\|c-a|\le\frac{2}{3}\end{cases}\)
W płaszczyźnie \(ab\) mamy:
\(|a-b|\le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad b-\frac{2}{3}\leq a\le b+\frac{2}{3}\)
czyli z kwadratu \([0,1]\times[0,1]\) odcinamy dwa narożniki (czyli dwie krawędzie z sześcianu). Analogicznie w pozostałych płaszczyznach. Zostaje bryła o objętości \(\frac{20}{27}\)
\(\mathbb{max}\{a,b,c\} − \mathbb{min}\{a,b,c\} \le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{cases}|a-b|\le\frac{2}{3}\\|b-c|\le\frac{2}{3}\\|c-a|\le\frac{2}{3}\end{cases}\)
W płaszczyźnie \(ab\) mamy:
\(|a-b|\le\frac{2}{3}\quad\Leftrightarrow\quad b-\frac{2}{3}\leq a\le b+\frac{2}{3}\)
czyli z kwadratu \([0,1]\times[0,1]\) odcinamy dwa narożniki (czyli dwie krawędzie z sześcianu). Analogicznie w pozostałych płaszczyznach. Zostaje bryła o objętości \(\frac{20}{27}\)