Geometria przestrzenna.

[mosdef21]

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie \(ABCDEF\) i polu powierzchni bocznej równym \(P\) . Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z wierzchołka A ma miarę \(2\alpha\) . Objętość tego graniastosłupa jest równa:

\[k\cdot \sqrt[4]{\frac{P^6\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha}}, \]
gdzie \(k\) jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik \(k\) .

[Jerry]

Ponieważ wzór jest ogólny, to w szczególności jest prawdziwy dla konkretnych wartości kąta \(\alpha\).
Zrób schludny rysunek, przyjmij np., że \(\alpha=30^\circ\) oraz przekątna ściany bocznej ma długość \(d=2\sqrt3\), wyznacz długość krawędzi podstawy \(a\), wysokość graniastosłupa \(h\), oblicz pole powierzchni bocznej oraz objętość danego graniastosłupa - otrzymasz przyjazne równanie zmiennej \(k\) i do odpowiedzi będzie blisko...

Pozdrawiam

PS

\(a=2, h=2\sqrt2\ \ldots,\ k={1\over4}\)

[nijak]

Dane:
\(P_b=P\)
\(P=6\cdot aH \So H= \frac{P}{6a} \)
Zrób rysunek, narysuj przekątną jednego z prostokątów i nazwij ją jako np: \(d\). Zauważ, że przekątne poprowadzone z wierzchołka powiedzmy \(A\) na wierzchołki podstawy górnej tworzą ramiona trojkąta równoramiennego. Wysokość tego trójkąta jest dwusieczną kąta \(2\alpha\) zaś podstawą jest wysokość sześciokąta foremnego, która wynosi- \(a \sqrt{3}. \) Widzisz zapewne też trójkąt prostokątny o przeciwprostokątej \(d\) czyli z twierdzenia Pitagorasa \(d^2=a^2+H^2\).
Obliczamy \(\sin\alpha= \frac{ \frac{1}{2}a \sqrt{3} }{d} \)
\(=d\sin\alpha=\frac{1}{2}a\sqrt{3}.\)
\[\biggl( \frac{ \frac{1}{2}a \sqrt{3} }{\sin\alpha} \biggr)^2=a^2+ \frac{P^2}{36a^2} =\]
\[ \frac{3a^2}{4\sin^2\alpha}=a^2+ \frac{P^2}{36a^2} |\cdot a^2 =\]
\[(\frac{3}{4\sin^2\alpha}-1)a^4=\frac{P^2}{36a}=\]
\[ \sqrt{ \frac{3-4\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha} }a^2 = \frac{P}{6} \]
\[a= \frac{ \sqrt{P} }{ \sqrt{6} } \cdot \sqrt[4]{ \frac{4\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } \]
\[H= \frac{ \sqrt{P} }{ \sqrt{6} } \cdot \sqrt[4]{ \frac{3-4\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha} } \]
\[V= \frac{6}{4} \sqrt{3}\cdot \frac{P}{6}\cdot \sqrt[4]{( \frac{4\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} })^2 \cdot \sqrt{P} \cdot \sqrt[4] {\frac{ {3-4\sin^2\alpha}}{4\sin^2\alpha}}=\]
\[ \frac{P \sqrt{P} \cdot \sqrt{3} }{4} \cdot \sqrt[4]{ \frac{4\sin^2\alpha}{3-4\sin^\alpha} }= \frac{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} }{4} \cdot \sqrt{P^3} \cdot \sqrt[4]{ \frac{\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } = \]
\[ \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot \sqrt[4]{ \frac{P^6\cdot \sin^2\alpha}{3-4\sin^\alpha} } \]
\[k= \frac{ \sqrt{6} }{4}. \]

[Jerry]

\(k= \frac{ \sqrt{6} }{4}. \)

Przykro mi, to nie jest poprawna odpowiedź

Pozdrawiam

[mosdef21]

To co jest z rozwiązaniem nie tak.

[nijak]

Ja jestem też ciekawy co jest nie tak

[nijak]

Powinno być w ten sposób:
\[V= \frac{6}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{P}{6} \cdot \sqrt[4]{ (\frac{4\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } )^2\cdot \frac{ \sqrt{P} }{ \sqrt{6} }\cdot \sqrt[4]{ \frac{3-4\sin^2\alpha}{4\sin^2\alpha} } = \frac{ \sqrt{2}P \sqrt{P} }{4 \sqrt{6} } \cdot \sqrt[4]{ \frac{\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } \]
\[= \frac{ \sqrt{6} }{4 \sqrt{6} }\cdot \sqrt{P^3}\cdot \sqrt[4]{ \frac{\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } = \frac{1}{4}\cdot\sqrt[4]{ \frac{\sin^2\alpha}{3-4\sin^2\alpha} } \]

Wszystko się zgadza

[Jerry]

To co jest z rozwiązaniem nie tak.

Sprawdź, po prostu, rachunki. nijak nie musi zrobić wszystkiego za Ciebie!

Pozdrawiam

[edited] nijak: własnie miałem pisał PW do Ciebie