Janek na stychu znalazł kwadratowy arkusz tektury o długości 3m. Postanowił zbudować z niego pojemnik w kształcie prostopadłościanu. W tym celu w narożnikach arkusza wyciął kwadraty. Jakiej długości powinny miec kwadraty, aby objętość tego prostopadłościanu była największa?
Nie wiem jak ustalić wzór funkcji
zadanie optymalizacyjne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
BarT123oks
- Czasem tu bywam
- Posty: 95
- Rejestracja: 15 sty 2023, 13:15
- Podziękowania: 34 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: zadanie optymalizacyjne
Oznacz przez \(x\) bok kwadratu. Oczywiście wszystkie te kwadraty mają być identyczne. Zrób sobie rysunek. Oczywiście \(0<x<1.5\), bo inaczej za dużo się wytnie. Podstawa pudełka to \(3-2x\), a wysokość to \(x\). Zatem objętość to\[V(x)=x(3-2x)^2.\]Należy wyznaczyć największą wartość tej funkcji w przedziale \((0,\ 1.5)\). Pochodna po rozłożeniu na czynniki ma postać \[V'(x)=3 \, {\left(2 \, x - 1\right)} {\left(2 \, x - 3\right)},\] co mówi nam, że funkcja \(V(x)\) rośnie w przedziale \(\left(0,\frac{1}{2}\right)\), a maleje w przedziale \(\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).\) W punkcie krytycznym \(x_0=\frac{1}{2}\) objętość jest więc największa. Wymiary pudełka to wobec tego podstawa \(3-2x_0=2\), a wysokość \(\frac{1}{2}.\)