Objętość graniastosłupa jako funkcja promienia i kąta.

[Januszgolenia]

Podstawa graniastosłupa prostego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze \(2 \alpha \). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \( \alpha \). Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta \( \alpha \).

[kerajs]

Podstawa graniastosłupa prostego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze \(2 \alpha \). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze \( \alpha \). Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta \( \alpha \).

Krótsza podstawa trapezu : \(|CD|=2(R\sin \alpha )\)
Wysokość trapezu : \(h=R\cos \alpha \)
Ramię trapezu: \(r=|AD|=|BC|= R \cos \frac{ \pi + \alpha }{2} \)
Wysokość graniastosłupa: \(H=r \tg \alpha =R\cos \frac{ \frac{\pi}{2}+ \alpha }{2} \tg \alpha \)

\(V= \frac{(2R)+2(R\sin \alpha )}{2} \cdot R\cos \alpha \cdot R\cos \frac{ \frac{\pi}{2} + \alpha }{2} \tg \alpha \)