2 zadania z kątami dwuściennymi

[kibanjain]

1. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy.

2. Okrąg wpisany w podstawę ostrosłupa prawidłowego [ciach] sześciokątnego o wysokości \(6\) ma promień \(6 \sqrt{3}\) . Wyznacz \(\cos \alpha\) ,gdzie \(\alpha\) jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

[Jerry]

1. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy.

1. Zrób schludny rysunek, niech kąt pomiędzy ścianami bocznymi ma miarę \(\gamma\), krawędź podstawy ma długość \(a=2x>0\). Wtedy krawędź boczna ma długość \(b=4x\)
2. Wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź podstawy ma \(x\sqrt{15}\)
3. Wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź boczną ma \(h={x\sqrt{15}\over2}\)
4. Przekątna podstawy ma \(d=a\sqrt2=2x\sqrt2\)
5. Z trójkąta ograniczonego przez \(h,\,h,\,d\) i wzoru cosinusów
   \[(2x\sqrt2)^2=\left({x\sqrt{15}\over2}\right)^2+\left({x\sqrt{15}\over2}\right)^2-2\cdot{x\sqrt{15}\over2}\cdot{x\sqrt{15}\over2}\cdot\cos\gamma\\ \cos\gamma=-{1\over15}\]

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Okrąg wpisany w podstawę ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości \(6\) ma promień \(6 \sqrt{3}\) . Wyznacz \(\cos \alpha\) ,gdzie \(\alpha\) jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

1. Zrób schludny rysunek
2. Wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź podstawy ma długość \(12\)
3. Krawędź podstawy ma długość \(12\)
4. Krawędź boczna ma długość \(6\sqrt5\)
5. Wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź boczną ma \(h={24\sqrt{5}\over5}\)
6. Krótsza przekątna podstawy ma \(d=12\sqrt3\)
7. Z trójkąta ograniczonego przez \(h,\,h,\,d\) i wzoru cosinusów
   \[(12\sqrt3)^2=\left({24\sqrt{5}\over5}\right)^2+\left({24\sqrt{5}\over5}\right)^2-2\cdot{{24\sqrt{5}\over5}}\cdot{{24\sqrt{5}\over5}}\cdot\cos\alpha\\ \cos\alpha=-{7\over8}\]

Pozdrawiam
PS. Rachunki, jak zwykle, do sprawdzenia