Graniastosłup

[WRGLG]

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC, którego każde z ramion
AB i AC ma długość 15. Połowa podstawy, wysokość opuszczona na tę podstawę oraz ramię trójkąta
tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Na krawędzi bocznej AD obrano punkt Z w taki sposób,
że |𝐴𝑍|:|𝑍𝐷| = 3: 5. Wiedząc, że przekrój BCZ jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°,
oblicz objętość graniastosłupa.

[eresh]

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC, którego każde z ramion
AB i AC ma długość 15. Połowa podstawy, wysokość opuszczona na tę podstawę oraz ramię trójkąta
tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Na krawędzi bocznej AD obrano punkt Z w taki sposób,
że |𝐴𝑍|:|𝑍𝐷| = 3: 5. Wiedząc, że przekrój BCZ jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°,
oblicz objętość graniastosłupa.

\(
|AB|=a\\
\)
\(h\) - wysokość podstawy opuszczona na AB
\(h_1\) - wysokość podstawy opuszczona na BC
H - wysokość bryły

\(h=\frac{0,5a+15}{2}\\
2h=0,5a+15\\
4h-30=a

\)

\((0,5a)^2+h^2=15^2\\
4h^2-60h+225+h^2=225\\
5h(h-12)=0\\
h=12\\
a=18\\
P_p=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 18=108\\
108=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot h_1\\
h_1=14,4\)

\(\tg 30^{\circ}=\frac{|AZ|}{h_1}\\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\frac{3}{8}H}{14,4}\\
14,4\sqrt{3}=\frac{9}{8}H\\
H=12,8\sqrt{3}
\)

\(V=108\cdot 12,8\sqrt{3}=1382,4\sqrt{3}\)