Ostrosłup

[lolipop692]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym podstawa wynosi \(a\) a krawedz boczna \(3a\)
a) oblicz odległość spodka wysokości od krawędzi bocznej
b) Oblicz cosinus kąta między podstawa a ściana boczna

[Jerry]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym podstawa wynosi \(a\) a krawedz boczna \(3a\)

Zrób schludny rysunek i zauważ istnienie trójkątów prostokątnych:

• \({2\over3}\) wysokości podstawy, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna, z tw. Pitagorasa wysokość ostrosłupa \(H=\sqrt{(3a)^2-({a\sqrt3\over3})^2}={a\sqrt{78}\over3}\)
• połowa krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej i krawędź boczna, z tw. Pitagorasa wysokość ściany bocznej \(h=\sqrt{(3a)^2-({a\over4})^2}={a\sqrt{35}\over2}\)

a) oblicz \(d\) odległość spodka wysokości od krawędzi bocznej

\({1\over2}\cdot 3a\cdot d={1\over2}\cdot {a\sqrt3\over3}\cdot {a\sqrt{78}\over3}\iff d={a\sqrt{26}\over9}\)

b) Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) między podstawa a ściana boczna

\(\cos\alpha={a\sqrt3\over6}:{a\sqrt{35}\over2}={\sqrt{105}\over105}\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia!