Na stożku o tworzącej długości

[matma1235]

Na stożku o tworzącej długości \(a\) którego przekrojem jest trójkąt równoboczny opisano kulę. W jakiej odległości \(x\) od podstawy stożka należy przeciąć obie bryły płaszczyzną równoległą do podstawy, aby różnica pól przekrojów była równa \(p^2\pi\)

[Jerry]

Zrób schludny rysunek i zauważ, że

• Promień kuli ma długość \({a\sqrt3\over3}\)
• Koło przekroju stożka jest podobne do koła podstawy stożka w skali \(\frac{{a\sqrt3\over2}-x}{{a\sqrt3\over2}}\), zatem ma pole \(\left(\frac{{a\sqrt3}-2x}{{a\sqrt3}}\right)^2\cdot\pi\left({a\over2}\right)^2\)
• Koło przekroju kuli jest odległe od środka kuli o \(\left|{a\sqrt3\over12}-x\right|\), jego promień jest długości \(\sqrt{\left({a\sqrt3\over3}\right)^2-\left|{a\sqrt3\over12}-x\right|^2}\)

Pozostaje rozwiązać równanie
\[\pi\left(\left({a\sqrt3\over3}\right)^2-\left|{a\sqrt3\over12}-x\right|^2\right)-\left(\frac{{a\sqrt3}-2x}{{a\sqrt3}}\right)^2\cdot\pi\left({a\over2}\right)^2=p^2\pi\wedge x\in\left(0;{a\sqrt3\over2}\right)\]
Pozdrawiam