7s271
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 2, a krawędź boczna \(3 \sqrt{2}\). Jakie możliwie najmniejsze ple ma przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy?
ODP. \(P= \frac{4 \sqrt{2} }{3}\)
Przekrój bryły
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przekrojem będzie trójkąt równoramienny o podstawie będącej przekątną podstawy i wierzchołku leżącym na krawędzi bocznej. Najmniejsze pole będzie miał taki przekrój, kiedy wysokością tego trójkąta będzie najkrótszy odcinek łączący środek podstawy z krawędzią. Będzie to odcinek prostopadły do tej krawędzi.
Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i połowa przekątnej podstawy, a przeciwprostokątna to krawędź boczna.
\(H^2+(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=(3\sqrt{2})^2\\H^2+2=18\\H^2=16\\H=4\)
Wysokość trójkąta równoramiennego, który jest przekrojem o najmniejszym polu jest wysokość omawianego trójkąta prostokątnego, opuszczoną na przeciwprostokątną. Obliczę ją z pola trójkąta:
\(\frac{4\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}h}{2}\\4\sqrt{2}=3\sqrt{2}h\\h=\frac{4}{3}\)
Pole przekroju:
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i połowa przekątnej podstawy, a przeciwprostokątna to krawędź boczna.
\(H^2+(\frac{2\sqrt{2}}{2})^2=(3\sqrt{2})^2\\H^2+2=18\\H^2=16\\H=4\)
Wysokość trójkąta równoramiennego, który jest przekrojem o najmniejszym polu jest wysokość omawianego trójkąta prostokątnego, opuszczoną na przeciwprostokątną. Obliczę ją z pola trójkąta:
\(\frac{4\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}h}{2}\\4\sqrt{2}=3\sqrt{2}h\\h=\frac{4}{3}\)
Pole przekroju:
\(P_p=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\)