Środki ścian ośmiościany foremnego są wierzchołkami sześcianu. Jaką część ośmiościanu zajmuje ten sześcian?
ODP.2/9
Stosunek brył
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ośmiościan foremny składa się z dwóch ostrosłupów prawidłowych czworokątnych, w których wszystkie krawędzie równe są a.
wysokość takiego ostrosłupa wraz z krawędzią i połową przekątnej podstawy tworzy trójkąt prostokątny. H- wysokość takiego ostrosłupa.
z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\H^2=a^2-\frac{a^2}{2}\\H^2=\frac{a^2}{2}\\H=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Objętość ośmiościanu:
\(V_o=2\cdot\frac{1}{3}a^2H\\V_o=\frac{2}{3}a^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\).
Sąsiednie wierzchołki sześcianu leżą na wysokościach sąsiednich ścian ośmiościanu i dzielą te wysokości w stosunku 2:1.
Trójkąt równoramienny zawierający te wysokości sąsiednich ścian ma w podstawie odcinek łączący środki sąsiednich boków kwadratu. Jego długość jest więc równa połowie długości przekątnej kwadratu.
Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa, a AC i BC to ramiona.
\(|AB|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\|AC|=|BC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Wierzchołki sześcianu leżące na ramionach to punkty K, L.
Trójkąt KLC jest podobny do trójkąta ABC w skali równej \(\frac{2}{3}\), więc \(|KL|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
Odcinek KL jest krawędzią sześcianu. Objętość sześcianu:
\(V_s=(\frac{a\sqrt{2}}{3})^3=\frac{a^3\cdot2\sqrt{2}}{27}\)
Stosunek objętości sześcianu do objętości ośmiościanu:
\(\frac{V_s}{V_o}=\frac{a^3\cdot2\sqrt{2}}{27}\cdot\frac{3}{a^3\sqrt{2}}=\frac{2}{9}\)
Sześcian zajmuje \(\frac{2}{9}\) ośmiościanu.
wysokość takiego ostrosłupa wraz z krawędzią i połową przekątnej podstawy tworzy trójkąt prostokątny. H- wysokość takiego ostrosłupa.
z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\H^2=a^2-\frac{a^2}{2}\\H^2=\frac{a^2}{2}\\H=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Objętość ośmiościanu:
\(V_o=2\cdot\frac{1}{3}a^2H\\V_o=\frac{2}{3}a^2\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\).
Sąsiednie wierzchołki sześcianu leżą na wysokościach sąsiednich ścian ośmiościanu i dzielą te wysokości w stosunku 2:1.
Trójkąt równoramienny zawierający te wysokości sąsiednich ścian ma w podstawie odcinek łączący środki sąsiednich boków kwadratu. Jego długość jest więc równa połowie długości przekątnej kwadratu.
Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa, a AC i BC to ramiona.
\(|AB|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\|AC|=|BC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Wierzchołki sześcianu leżące na ramionach to punkty K, L.
Trójkąt KLC jest podobny do trójkąta ABC w skali równej \(\frac{2}{3}\), więc \(|KL|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)
Odcinek KL jest krawędzią sześcianu. Objętość sześcianu:
\(V_s=(\frac{a\sqrt{2}}{3})^3=\frac{a^3\cdot2\sqrt{2}}{27}\)
Stosunek objętości sześcianu do objętości ośmiościanu:
\(\frac{V_s}{V_o}=\frac{a^3\cdot2\sqrt{2}}{27}\cdot\frac{3}{a^3\sqrt{2}}=\frac{2}{9}\)
Sześcian zajmuje \(\frac{2}{9}\) ośmiościanu.