Ostrosłup

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Hacker000
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 22 kwie 2020, 09:37
Podziękowania: 16 razy
Płeć:

Ostrosłup

Post autor: Hacker000 »

Dany ostrosłup \(ABCDS\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\) i krawędziach bocznych długości \(c\). Kąty płaskie w wierzchołku ostrosłupa wynoszą odpowiednio \(|ASB|=|CSD|= \alpha \) i \(|BSC|=|ASD|= \beta \). Oblicz objętość tego ostrosłupa a następnie uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie \(ACS\) wynosi \(R= \frac{c}{ \sqrt{2(cos \alpha +cos \beta )} } \)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Ostrosłup

Post autor: eresh »

Hacker000 pisze: 23 kwie 2021, 09:39 Dany ostrosłup \(ABCDS\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\) i krawędziach bocznych długości \(c\). Kąty płaskie w wierzchołku ostrosłupa wynoszą odpowiednio \(|ASB|=|CSD|= \alpha \) i \(|BSC|=|ASD|= \beta \). Oblicz objętość tego ostrosłupa a następnie uzasadnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie \(ACS\) wynosi \(R= \frac{c}{ \sqrt{2(cos \alpha +cos \beta )} } \)
a, b - krawędzie podstawy
d - przekątna podstawy

\(a^2=c^2+c^2-2c^2\cos \alpha\\
a^2=2c^2(1-\cos \alpha)\\
a=c\sqrt{2-2\cos\alpha}\\
b=c\sqrt{2-2\cos\beta}\\
d^2=a^2+b^2\\
d^2=2c^2(1-\cos\alpha)+2c^2(1-\cos\beta)\\
d^2=2c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H^2+(0,5d)^2=c^2\\
H^2=c^2-0,25\cdot 2c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H^2=c^2-0,5c^2(2-\cos\alpha-\cos\beta)\\
H=c\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}\\
V=\frac{1}{3}abH\)


O - spodek wysokości
w trójkącie SOC:
\(\sin\angle SCO=\frac{H}{c}=\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}\\\)

z tw. sinusów w ACS
\(\frac{c}{\sin\angle SCO}=2R\\
R=\frac{c}{2\sqrt{1-0,5(2-\cos\alpha-\cos\beta)}}\\
R=\frac{c}{\sqrt{2}\sqrt{\cos\alpha+\cos\beta}}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ