Ostrosłup - zadanie z treścią

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
krofcik
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 30 mar 2010, 18:05

Ostrosłup - zadanie z treścią

Post autor: krofcik »

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt o boku a i kątach przyległych do tego boku \beta i \gamma . Spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Wyznacz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

\(\delta\)- trzeci kąt w trójkącie podstawy

\(\delta=180^o-(\beta+\gamma)\\sin\delta=sin(\beta+\gamma)\)

b, c- długości pozostałych boków trójkąta podstawy

z twierdzenia sinusów:
\(\frac{b}{sin\beta}=\frac{a}{sin(\beta+\gamma)}\\b=\frac{a\cdot\ sin\beta}{sin(\beta+\gamma)}\)

\(\frac{c}{sin\gamma}=\frac{a}{sin(\beta+\gamma)}\\c=\frac{a\cdot\ sin\gamma}{sin(\beta+\gamma)}\)

Ze wzoru na pole trójkąta obliczam R- promień okręgu opisanego na tym trójkącie:
\(P=\frac{1}{2}acsin\beta=\frac{abc}{4R}\\R=\frac{a}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Obliczam wysokość ostrosłupa:
\(\frac{H}{R}=tg\alpha\\H=Rtg\alpha=\frac{atg\alpha}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Pole podstawy:
\(P_p=\frac{1}{2}acsin\beta=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a\cdot\ sin\gamma}{sin(\beta+\gamma)}\cdot\ sin\beta=\frac{a^2sin\beta\ sin\gamma}{2sin(\beta+\gamma)}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2sin\beta\ sin\gamma}{2sin(\beta+\gamma)}\cdot\frac{atg\alpha}{2sin(\beta+\gamma)}=\frac{a^3sin\beta\ sin\gamma\ tg\alpha}{12sin^2(\beta+\gamma)}\)
ODPOWIEDZ