Kula wpisana w stożek

[emka_dk]

Bardzo pilne zadanka, niezbędne na dziś wieczór

Oblicz pole powierzchni kuli wpisanej w stożek o :
1 - tworzącej długości l i kącie rozwarcia 2 \alpha
2 - wysokości h i kącie rozwarcia 2 \alpha

z góry dziękuję za rozwiązania

[irena]

W przekroju osiowym brył mamy trójkąt równoramienny, w którym ramiona to tworzące stożka, podstawa to średnica podstawy stożka, wysokość to wysokość stożka. W ten trójkąt wpisane jest koło wielkie kuli. Nazwałam ten trójkąt ABC, AB to podstawa. Wysokość to odcinek CD, środek koła - O. Narysuj promień koła do punktu styczności z bokiem BC. Ten promień nazwałam OE.
|BD|=r- promień podstawy stożka, |BC|=l, |CD|=H |OE|=R- promień kuli. Kąt między wysokością trójkąta a ramieniem BC ma miarę \(\alpha\).

Z równości odcinków stycznych mamy: |BD|=|BE|=r. Stąd |CE|=l-r.
\(\frac{r}{l}=sin\alpha\\r=l\ sin\alpha\\\frac{|OE|}{|EC|}=tg\alpha\\\frac{R}{l-r}=tg\alpha\\\frac{R}{l(1-sin\alpha)}=tg\alpha\\R=l\ tg\alpha(1-sin\alpha)\)

\(P_k=4\pi\ R^2\\P_k=4\pi\cdot\ l^2\ tg^2\alpha(1-sin\alpha)^2\)

2)
W tym przypadku |CD|=H, |OD|=R, |CO|=H-R, |OE|=R
\(\frac{|OE|}{|OC|}=sin\alpha\\\frac{R}{H-R}=sin\alpha\\R=H\ sin\alpha-R\ sin\alpha\\R(1+sin\alpha)=H\ sin\alpha\\R=\frac{H\ sin\alpha}{1+sin\alpha}\)

\(P_k=4\pi\ R^2\\P_k=4\pi\cdot\frac{H^2\ sin^2\alpha}{(1+sin\alpha)^2}\)