Wie ktoś jak rozwiązać to zadanie?
Czy istnieje taki ostrosłup \(ABCDS\), którego podstawą jest prostokąt
\(ABCD\) i którego każde dwie krawędzie boczne są różnych długości,
a ponadto spełniona jest równość \(AS+CS=BS+DS\) ? Odpowiedz uzasadnij.
Ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3527
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: Ostrosłup
Zauważmy, że trójkąty \(ACS\) i \(BDS\) mają mieć równe podstawy, obwody i środkowe poprowadzone do podstawy.
Spłaszczmy problem:
Mając dany trójkąt \(KLM\) (\(KM\ne LM\)) znajdź trójkąt \(KLP\) nieprzystający do danego, o takim samym obwodzie i środkowej \(SP=SM\). Zatem \(P\) leży na elipsie o ogniskach \(K,\ L\) i osi \(KM+LM\) oraz na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(SM\). Figury te przecinają się w trzech punktach różnych od \(M\), ale każdy z nich jest symetryczny do \(M\) względem którejś z osi symetrii elipsy, czyli \(\Delta KLP_i\equiv\Delta KLM\) - sprzeczność.
Odp. Nie istnieje.
Pozdrawiam
Spłaszczmy problem:
Mając dany trójkąt \(KLM\) (\(KM\ne LM\)) znajdź trójkąt \(KLP\) nieprzystający do danego, o takim samym obwodzie i środkowej \(SP=SM\). Zatem \(P\) leży na elipsie o ogniskach \(K,\ L\) i osi \(KM+LM\) oraz na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(SM\). Figury te przecinają się w trzech punktach różnych od \(M\), ale każdy z nich jest symetryczny do \(M\) względem którejś z osi symetrii elipsy, czyli \(\Delta KLP_i\equiv\Delta KLM\) - sprzeczność.
Odp. Nie istnieje.
Pozdrawiam
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Ostrosłup
Względnie można iść w dłużyznę :
\( F \) -- spodek wysokości ostrosłupa , \( [SF|=h \)
Oznaczmy : \( |AS|=a , |BS|=b , |CS|=c , |DS|=d \) , \( |FA|= a_1 , |FB|= b_1 , |FC|= c_1 , |FD|=d_1 \)
Oraz , będzie potrzeba przejść do języka analitycznego na płaszczyźnie podstawy ostrosłupa : \( A=( a_2, a_3) , B=(a_2,-a_3) ,C=(-a_2,-a_3) , D=(-a_2,a_3) \) bo ABCD jest prostokątem.
1 ) Wtedy \( h^2 +a_1^2= a^2 , h^2+b_1^2=b^2 , h^2+c_1^2=c^2 , h^2+d_1^2 =d^2 \) ( Teza Pitagorasa)
2) rachunek na współrzędnych wierzchołków A,B,C,D prowadzi do równości \( a_1^2 +c_1^2= b_1^2 +d_1^2 \)
3) podstawiając 1) do równości 2) dostajemy \( a^2+c^2= b^2+d^2 \)
4) Dokładam założenie \( a+c=b+d \) i dostaję układ \( \begin {cases} a+c=b+d \\ a^2+c^2= b^2+d^2 \end {cases} \)
5) Z założenia \( a,b,c,d \) są parami różne to \( a-b=d-c\neq 0 \) dostanę z drugiego , że \( a+b=d+c
\)
6) Dostaję układ \( \begin {cases} a+c=b+d \\ a+b= d+c \end {cases} \) skąd \( a=d \) sprzeczość z założeniem .
\( F \) -- spodek wysokości ostrosłupa , \( [SF|=h \)
Oznaczmy : \( |AS|=a , |BS|=b , |CS|=c , |DS|=d \) , \( |FA|= a_1 , |FB|= b_1 , |FC|= c_1 , |FD|=d_1 \)
Oraz , będzie potrzeba przejść do języka analitycznego na płaszczyźnie podstawy ostrosłupa : \( A=( a_2, a_3) , B=(a_2,-a_3) ,C=(-a_2,-a_3) , D=(-a_2,a_3) \) bo ABCD jest prostokątem.
1 ) Wtedy \( h^2 +a_1^2= a^2 , h^2+b_1^2=b^2 , h^2+c_1^2=c^2 , h^2+d_1^2 =d^2 \) ( Teza Pitagorasa)
2) rachunek na współrzędnych wierzchołków A,B,C,D prowadzi do równości \( a_1^2 +c_1^2= b_1^2 +d_1^2 \)
3) podstawiając 1) do równości 2) dostajemy \( a^2+c^2= b^2+d^2 \)
4) Dokładam założenie \( a+c=b+d \) i dostaję układ \( \begin {cases} a+c=b+d \\ a^2+c^2= b^2+d^2 \end {cases} \)
5) Z założenia \( a,b,c,d \) są parami różne to \( a-b=d-c\neq 0 \) dostanę z drugiego , że \( a+b=d+c
\)
6) Dostaję układ \( \begin {cases} a+c=b+d \\ a+b= d+c \end {cases} \) skąd \( a=d \) sprzeczość z założeniem .