ostrosłup prawidłowy trójkątny - wyznacz stosunek

[alksandra4]

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem. Starałam się je rozwiązać, ale trochę zakopałam się w obliczeniach.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź boczna jest 2 razy dłuższa niż krawędź podstawy. Ostrosłup ten podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły o tej samej objętości. Wyznacz stosunek objętości kul wpisanych w każdą z tych brył. Sporządź rysunek.

Z góry dziękuje za pomoc!

[Jerry]

Zauważ, że płaszczyzna tnąca przechodzi przez środek krawędzi bocznej!
Oblicz pola powierzchni całkowitej powstałych czworościanów i dwukrotnie skorzystaj z faktu:
\[V={1\over3}\cdot P_C\cdot r\]
gdzie \(V\) - objętość, \(P_C\) - pole powierzchni całkowitej, \(r\) - promień kuli wpisanej w wielościan

Pozdrawiam

[Jerry]

1) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

moje rozwiązanie

2) \(SM=3\sqrt{15}x\)
3) \(AP=PQ=QM=\sqrt3x\)
4) \(SQ=2\sqrt{33}x\)
5) \(NP=\sqrt{33}x\), bo \(V_{ABCN}={1\over2}V_{ABCS}\)
6) \(MN=3\sqrt5x\)
7) \(V_{ABCN}={1\over3}\cdot(9\sqrt3x^2+2\cdot{1\over2}\cdot{1\over2}\cdot6x\cdot3\sqrt{15}x+{1\over2}\cdot6x\cdot3\sqrt5x)\cdot r_{ABCN}\)
8 ) \(V_{BCNS}={1\over3}\cdot({1\over2}\cdot6x\cdot3\sqrt5x+2\cdot{1\over2}\cdot{1\over2}\cdot6x\cdot3\sqrt{15}x+{1\over2}\cdot6x\cdot3\sqrt{15}x)\cdot r_{BCNS}\)
9) Wobec \(V_{ABCN}=V_{BCNS}\) mamy \({r_{BCNS}\over r_{ABCN}}={\sqrt3+\sqrt{15}+\sqrt5\over\sqrt5+2\sqrt{15}}\approx 0,786\)
10) \({{4\over3}\cdot\pi\cdot r^3_{BCNS}\over{4\over3}\cdot\pi\cdot r^3_{ABCN}}=\left({\sqrt3+\sqrt{15}+\sqrt5\over\sqrt5+2\sqrt{15}}\right)^3=\cdots\)

PS. Rachunki do sprawdzenia, bad-click również możliwy

Pozdrawiam