1. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego długości \(4 \sqrt{3}\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
2. Przekrojem osiowym stożka o tworzącej 10cm jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami 120 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
Objętość graniastosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Przekątna graniastosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych H- wysokość graniastosłupa i d- przekątna kwadratu podstawy
\(\frac{H}{4\sqrt}}=sin30^o\\H=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{4}=2\sqrt{3}\)
\(\frac{d}{4\sqrt{3}}=cos30^o\\d=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\)
a- krawędź podstawy
\(a\sqrt{2}=d\\a=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
Objetość:
\(V=a^2H\\V=18\cdot2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\)
Pole powierzchni:
\(P_c=2a^2+4aH\\P_c=2\cdot18+24\sqrt{6}=12(3+2\sqrt{6})\)
Przekątna graniastosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych H- wysokość graniastosłupa i d- przekątna kwadratu podstawy
\(\frac{H}{4\sqrt}}=sin30^o\\H=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{4}=2\sqrt{3}\)
\(\frac{d}{4\sqrt{3}}=cos30^o\\d=4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\)
a- krawędź podstawy
\(a\sqrt{2}=d\\a=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)
Objetość:
\(V=a^2H\\V=18\cdot2\sqrt{3}=36\sqrt{3}\)
Pole powierzchni:
\(P_c=2a^2+4aH\\P_c=2\cdot18+24\sqrt{6}=12(3+2\sqrt{6})\)
2.
Ramiona tego trójkąta to tworzące stożka- l=10cm. Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka. Wysokość trójkąta to wysokość stożka.
\(\frac{H}{10}=cos60^o\\H=10\cdot\frac{1}{2}=5\)
\(\frac{r}{10}=sin60^o\\r=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\)
I podstaw do wzorów:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2\\P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\)
Ramiona tego trójkąta to tworzące stożka- l=10cm. Podstawa tego trójkąta to średnica podstawy stożka. Wysokość trójkąta to wysokość stożka.
\(\frac{H}{10}=cos60^o\\H=10\cdot\frac{1}{2}=5\)
\(\frac{r}{10}=sin60^o\\r=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\)
I podstaw do wzorów:
\(V=\frac{1}{3}\pi\ r^2\\P_c=\pi\ r^2+\pi\ rl\)