Obrót trójkąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Obrót trójkąta
W trójkącie ABC bok AB ma długość k, a kąty ostre do niego przyległe mają miary \alpha i \beta . Trójkąt ten obraca się wokół osi równoległej do boku AB i przechodzącej przez wierzchołek C. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły obrotowej.
W wyniku tego obrotu otrzymamy walec o wysokości równej k z wyciętymi stożkami o tej samej podstawie. Suma wysokości tych stożków jest równa k. Promień podstawy tych brył to wysokość trójkąta, h, opuszczona na bok o długości k.
Trzeci kąt w trójkącie ma miarę równą \(\gamma=180^o-(\alpha+\beta)\). \(sin\gamma=sin(180^o-(\alpha+\beta))=sin(\alpha+\beta)\).
l- bok trójkąta leżący naprzeciw kąta \(\beta\), p- bok leżący naprzeciw kąta \(\alpha\).
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{l}{sin\beta}=\frac{k}{sin(\alpha+\beta)}\\l=\frac{k\ sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}\)
\(\frac{p}{sin\alpha}=\frac{k}{sin(\alpha+\beta)}\\p=\frac{k\ sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}\)
\(\frac{h}{l}=sin\alpha\\h=l\ sin\alpha\\h=\frac{k\ sin\alpha\ sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}\)
Objętość bryły:
\(V=\pi\ h^2k-\frac{1}{3}\pi\ h^2\ k=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^2\ sin^2\alpha\ sin^2\beta}{sin^2(\alpha+\beta)}\cdot\ k\\V=\frac{2\pi\ k^3\ sin^2\alpha\ sin^2\beta}{2sin^2(\alpha+\beta)}\)
Pole powierzchni bryły to suma powierzchni bocznej walcai powierzchni bocznych obu stożków.
\(P_c=2\pi\ hk+\pi\ hl+\pi\ hp=\pi\cdot\ h(2k+l+p)\)
Mam nadzieję, że wstawisz wyznaczone wielkości i policzysz już do końca.
Trzeci kąt w trójkącie ma miarę równą \(\gamma=180^o-(\alpha+\beta)\). \(sin\gamma=sin(180^o-(\alpha+\beta))=sin(\alpha+\beta)\).
l- bok trójkąta leżący naprzeciw kąta \(\beta\), p- bok leżący naprzeciw kąta \(\alpha\).
Z twierdzenia sinusów:
\(\frac{l}{sin\beta}=\frac{k}{sin(\alpha+\beta)}\\l=\frac{k\ sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}\)
\(\frac{p}{sin\alpha}=\frac{k}{sin(\alpha+\beta)}\\p=\frac{k\ sin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}\)
\(\frac{h}{l}=sin\alpha\\h=l\ sin\alpha\\h=\frac{k\ sin\alpha\ sin\beta}{sin(\alpha+\beta)}\)
Objętość bryły:
\(V=\pi\ h^2k-\frac{1}{3}\pi\ h^2\ k=\frac{2}{3}\pi\cdot\frac{k^2\ sin^2\alpha\ sin^2\beta}{sin^2(\alpha+\beta)}\cdot\ k\\V=\frac{2\pi\ k^3\ sin^2\alpha\ sin^2\beta}{2sin^2(\alpha+\beta)}\)
Pole powierzchni bryły to suma powierzchni bocznej walcai powierzchni bocznych obu stożków.
\(P_c=2\pi\ hk+\pi\ hl+\pi\ hp=\pi\cdot\ h(2k+l+p)\)
Mam nadzieję, że wstawisz wyznaczone wielkości i policzysz już do końca.