Objętość ostrosłupa z trójkątem równoramiennym w podstawie

[Michał_F]

Witam, mam niespodziewanie spory problem z następującym zadaniem:

Podstawą ostrosłupa \(ABCS\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AB|=|BC|=a\) oraz \(|\angle BAC| = \alpha\). Krawędź boczna \(AS\) jest nachylona do podstawy pod kątem \(\alpha\) oraz krawędzie skośne tzn. \(AS\) i \(BC\), \(BS\) i \(AC\), \(CS\) i \(AB\) są prostopadłe.

Uzasadnij, że objętość ostrosłupa wynosi \(V = \frac{1}{3}a^3 \sin \alpha \cdot \sin \frac{\alpha}{2}\).

Oczywiście zadanie sprowadza się do pokazania, że \(H=2 a \sin \frac{\alpha}{2} \), gdzie \(H\) to wysokość opuszczona z \(S\). Łatwo pokazać, pracując w podstawie \(ABC\), że \(|BC|=2 a \sin \frac{\alpha}{2}\), czyli tyle, ile powinna też wyjść wysokość. Nie jestem jednak pewien, jak skorzystać z prostopadłości krawędzi skośnych - próbowałem chociażby z tego, że suma kwadratów przeciwległych krawędzi jest taka sama, jednak nie umiałem tego w ten sposób dokończyć. Byłoby też łatwo, gdybyśmy mogli coś powiedzieć o spodku wysokości, o którym jednak a priori za dużo nie wiemy.