Wielościany

[krniasty]

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole koła wpisanego w podstawę wynosi 12 .
Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(60^\circ\). Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego ostrosłupa.
2. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź dolnej
podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy pod
kątem \(60^\circ\). Pole otrzymanego przekroju jest równe 24.Oblicz objętość tego graniastosłupa.
3. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o ramionach długości
8cm oraz kącie między ramionami \(30^\circ\). Oblicz pole tego przekroju i objętość ostrosłupa.

[eresh]

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole koła wpisanego w podstawę wynosi 12 .
Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Oblicz objętość i pole powierzchni
całkowitej tego ostrosłupa.

\(\pi r^2=12\\
r^2=\frac{12}{\pi}\\
r=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}\\
r=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}\\
r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\
\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\
12\sqrt{3}=a\sqrt{3\pi}\\
12=a\sqrt{\pi}\\
\frac{12}{\sqrt{\pi}}=a\)

\(\tg 60^{\circ}=\frac{H}{\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}\\
\sqrt{3}=\frac{3H}{a\sqrt{3}}\\
3H=3a\\
H=a\\
H=\frac{12}{\sqrt{\pi}}
\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H\\
...\)

h - wysokość ściany bocznej
\(H^2+(\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2})^2=h^2\\
\frac{144}{\pi}+\frac{12}{\pi}=h^2\\
\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{\pi}}=h\)

\(P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot\frac{1}{2}ah\)

[eresh]

2. Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź dolnej
podstawy i wierzchołek górnej podstawy. Płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy pod
kątem 60. Pole otrzymanego przekroju jest równe 24.Oblicz objętość tego graniastosłupa.

a - krawędź podstawy
h - wysokość przekroju
H - wysokość bryły
\(h_p\) - wysokość podstawy

\(\frac{1}{2}ah=24\\
h=\frac{48}{a}\)

\(\cos 60^{\circ}=\frac{h_p}{h}\\
\frac{1}{2}=\frac{h_p}{h}\\
h_p=\frac{1}{2}h\\
\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{48}{a}\\
\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{24}{a}\\
a^2\sqrt{3}=48\\
a^2=16\sqrt{3}\\
a=4\sqrt[4]{3}
\)

\(H^2+h_p^2=h^2\\
H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2=\frac{48^2}{a^2}\\
H^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{2304}{a^2}\\
H^2+\frac{3}{4}\cdot 16\sqrt{3}=\frac{2304}{16\sqrt{3}}\\
H^2+12\sqrt{3}=48\sqrt{3}\\
H=6\sqrt[4]{3}
\)

\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H\)

[eresh]

3. Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną
podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym o ramionach długości
8cm oraz kącie między ramionami 30. Oblicz pole tego przekroju i objętość ostrosłupa.

\(P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\cdot \sin 30^{\circ}=16\)

twierdzenie cosinusów dla przekroju:
\((a\sqrt{2})^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cos 30^{\circ}\\
2a^2=128-64\sqrt{3}\\
a^2=64-32\sqrt{3}\\
a=\sqrt{64-32\sqrt{3}}\)

\(P=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot H\\
16=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{64-32\sqrt{3}}\sqrt{2}H\\
32=\sqrt{128-64\sqrt{3}}H\\
H=\frac{32}{\sqrt{128-64\sqrt{3}}}
\)

\(V=\frac{1}{3}a^2H\)