Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 21:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: zwierzaczysko » 15 kwie 2020, 21:40

Uzasadnij, że graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego przekątna ma długość 1 dm, ma największą objętość, gdy wszystkie jego krawędzie mają długość równą \( \frac{ \sqrt{3} }{3} dm \)

Awatar użytkownika
Jerry
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 228
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 111 razy

Re: Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: Jerry » 15 kwie 2020, 22:27

W
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=21&t=90058
przyjmij, że
\(a=b\), \(p=a\sqrt2\) i \(d=1\)

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
szw1710
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 233
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 64 razy
Płeć:

Re: Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: szw1710 » 15 kwie 2020, 22:28

Niech \(a,h\) oznaczają standardowo krawędź podstawy i wysokość prostopadłościanu. Kwadrat przekątnej to \(2a^2+h^2=1\) z danych zadania, więc \(a^2=\frac{1-h^2}{2}.\) Skoro \(V=a^2h\), to do zoptymalizowania jest funkcja \(f(h)=(1-h^2)h=h-h^3\) przy \(0<h<1\), co wynika z tego, że krawędzie prostopadłościanu są krótsze niż przekątna. Standardowo pochodna \(f'(h)=1-3h^2\) ma znak..., więc funkcja \(f\) ma maksimum dla \(h=\dots\).
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.