Objętość prostopadłościanu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 21:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Objętość prostopadłościanu

Post autor: zwierzaczysko » 15 kwie 2020, 18:47

Spośród prostopadłościanów, w których p jest długością przekątnej jednej ze ścian, d - długością przekątnej prostopadłościanu, wybierz ten, który ma największą objętość. Podaj długość krawędzi tego prostopadłościanu oraz oblicz jego objętość.

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14368
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8455 razy
Płeć:

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: eresh » 15 kwie 2020, 19:13

a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)


\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)


\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)

przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)

zwierzaczysko
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 19 mar 2020, 21:27
Podziękowania: 24 razy
Płeć:

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: zwierzaczysko » 15 kwie 2020, 21:36

eresh pisze:
15 kwie 2020, 19:13
a,b,H - krawędzie prostopadłościanu
\(b^2+H^2=p^2\\
a^2+b^2+H^2=d^2\\
a^2+p^2=d^2\\
a=\sqrt{d^2-p^2}\)


\(b^2+H^2=p^2\\
b=\sqrt{p^2-H^2}\\
H\in (0,p)\)


\(V=abH\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2-H^2}\cdot H\\
V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)

przyjmijmy \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
znajdź maksimum tej funkcji dla \(H\in (0,p)\)
Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)

Awatar użytkownika
Jerry
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 228
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 111 razy

Re: Objętość prostopadłościanu

Post autor: Jerry » 15 kwie 2020, 22:19

zwierzaczysko pisze:
15 kwie 2020, 21:36
Dlaczego przyjmujemy, że \(f(H)=p^2H^2-H^4\)
We wzorze:
\(V(H)=\sqrt{d^2-p^2}\cdot\sqrt{p^2H^2-H^4}\)
czynnik
\(\sqrt{d^2-p^2}\)
jest wartością stałą, a wartość pierwiastka jest największa dla największej wartości podpierwiastkowej.
Zatem wystarczy zoptymalizować
\(f(H)=p^2H^2-H^4\)

Pozdrawiam