Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
olek1023
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 16 mar 2010, 18:55

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: olek1023 » 23 mar 2010, 17:09

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny , w którym krótsza przekatna graniastosłupa o długości 10 pierw. z 3 tworzy z płaszczyzną kąt alfa taki, że cos alfa= 0,6. Oblicz objętosc graniastosłupa oraz kat, jaki tworzy dluzsza przekatna graniastoslupa z plaszczyzna podstawy.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 24 mar 2010, 09:32

Kąt nachylenia krótszej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy to kąt, jaki ta przekątna tworzy z krótszą przekątną podstawy (sześciokąta foremnego).

a- krawędź podstawy, \(a\sqrt{3}\)- krótsza przekątna sześciokąta o boku a
H- wysokość graniastosłupa

\(cos\alpha=0,6=\frac{a\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}\\a=6\)
\(H^2+(a\sqrt{3})^2=(10\sqrt{3})^2\\H^2+3\cdot36=300\\H^2=192\\H=8\sqrt{3}\)

\(V=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot8\sqrt{3}=1296\)

Dłuższa przekątna sześciokąta o boku a ma długość 2a. Czyli dłuższa przekątna tego sześciokąta ma długość równą 12.
\(tg\beta=\frac{H}{2a}\\tg\beta=\frac{8\sqrt{3}}{12}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx1,1547\\\beta\approx49^o\)