Objętości brył

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
matma2010
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 16 mar 2010, 14:10

Objętości brył

Post autor: matma2010 » 22 mar 2010, 16:41

Zad.1 Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze α. Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Zad.2 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie ostrym α. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem β. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zad.3 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości a i b. Jedna z przekątnych graniastosłupa ma długość b. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 17:21

2.

Pole podstawy:
\(P_p=a^2\ sin\alpha\)

Kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy to kąt między tą przekątną a dłuższą przekątną rombu. Dłuższa przekątna rombu (d) wraz z dwoma bokami rombu tworzy trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(180^o-\alpha\)
\(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\)

z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+a^2-2a\cdot\ a\cdot\ cos(180^o-\alpha)\\d^2=2a^2+2a^2\ cos\alpha\\d=a\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)

\(\frac{H}{d}=tg\beta\\H=a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)

Objętość:
\(V=a^2\ sin\alpha\cdot\ a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\\V=a^3\ sin\alpha\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)

matma2010
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 16 mar 2010, 14:10

Post autor: matma2010 » 22 mar 2010, 18:35

wynik w zadaniu 1 i 2 jest zły

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 22 mar 2010, 18:37

A nie mogłeś podać wyników od razu jak podawałeś treść zadań?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 19:14

Może po prostu podasz wyniki dane do tych zadań- bo skąd wiesz, że wyniki są złe? Znalazłeś błąd w rozumowaniu albo w obliczeniach?

matma2010
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 16 mar 2010, 14:10

Post autor: matma2010 » 22 mar 2010, 19:31

Zad1 V = \frac{1}{3} a^3cos^2 \alpha \sqrt{3-4cos^2 \alpha }
Zad2 V = 2a^3sin \alpha cos \frac{ \alpha }{2} tg \beta
Zad3 V = \frac{1}{2} ab \sqrt{b^2-a^2}

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 19:48

W zad. 2. wynik jest dobry, tylko inaczej zapisany.
\(\sqrt{2(1+cos\alpha)}=\sqrt{2(1+2cos^2(\frac{\alpha}{2})-1)}=\sqrt{2\cdot2\ cos^2(\frac{\alpha}{2})}=2cos(\frac{\alpha}{2})\)

Wstaw i sprawdź.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 19:54

W zad. 1. źle odczytałam kąt- to kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy, a nie, jak odczytałam- z podstawą. Zaraz poprawię.
A na przyszłość- jeśli masz odpowiedzi, to je podawaj. Wtedy od razu można się zorientować, że gdzieś tkwi błąd. Albo- można przedstawić odpowiedź tak, jak jest w książce, żeby nie było wątpliwości.

matma2010
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 16 mar 2010, 14:10

Post autor: matma2010 » 22 mar 2010, 19:57

Racja 2 jest dobre, dzięki:)

a co do pozostałych zadań nie wiem co...?

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 20:06

1.
p- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{p\sqrt{3}}{2}=\frac{p\sqrt{3}}{3}\)

\(\frac{\frac{p}{2}}{a}=cos\alpha\\p=2a\ cos\alpha\)

Pole podstawy:
\(P_p=\frac{p^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{4\sqrt{3}a^2\ cos^2\alpha}{4}=a^2\sqrt{3}\ cos^2\alpha\)

\(R=\frac{2a\sqrt{3}\ cos\alpha}{3}\)

\(R^2+H^2=a^2\\H^2+\frac{4a^2\cdot3\ cos^2\alpha}{9}=a^2\\H^2=a^2-\frac{4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H^2=\frac{3a^2-4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H=\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\ a^2\sqrt{3}cos^2\alpha\cdot\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\\V=\frac{a^3\ cos^2\alpha\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{3}\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9853 razy
Płeć:

Post autor: irena » 22 mar 2010, 20:15

3.
Przekątna tego graniastosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych to wysokość graniastosłupa, a druga przyprostokątna to jedna z przekątnych podstawy. Dlatego musi być, że b>a i trójkąt prostokątny dana przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną a.

Pole podstawy:
\(P_p=\frac{ab}{2}\)

\(H^2+a^2=b^2\\H^2=b^2-a^2\\H=\sqrt{b^2-a^2}\)

Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=\frac{ab}{2}\cdot\sqrt{b^2-a^2}\)

matma2010
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 36
Rejestracja: 16 mar 2010, 14:10

Post autor: matma2010 » 22 mar 2010, 20:37

Dziękuje serdecznie! Można na Was liczyć!