Zad.1 Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze α. Jaką objętość ma ten ostrosłup?
Zad.2 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie ostrym α. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem β. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zad.3 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości a i b. Jedna z przekątnych graniastosłupa ma długość b. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Objętości brył
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
2.
Pole podstawy:
\(P_p=a^2\ sin\alpha\)
Kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy to kąt między tą przekątną a dłuższą przekątną rombu. Dłuższa przekątna rombu (d) wraz z dwoma bokami rombu tworzy trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(180^o-\alpha\)
\(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\)
z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+a^2-2a\cdot\ a\cdot\ cos(180^o-\alpha)\\d^2=2a^2+2a^2\ cos\alpha\\d=a\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
\(\frac{H}{d}=tg\beta\\H=a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
Objętość:
\(V=a^2\ sin\alpha\cdot\ a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\\V=a^3\ sin\alpha\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
Pole podstawy:
\(P_p=a^2\ sin\alpha\)
Kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do podstawy to kąt między tą przekątną a dłuższą przekątną rombu. Dłuższa przekątna rombu (d) wraz z dwoma bokami rombu tworzy trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(180^o-\alpha\)
\(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\)
z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+a^2-2a\cdot\ a\cdot\ cos(180^o-\alpha)\\d^2=2a^2+2a^2\ cos\alpha\\d=a\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
\(\frac{H}{d}=tg\beta\\H=a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
Objętość:
\(V=a^2\ sin\alpha\cdot\ a\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\\V=a^3\ sin\alpha\ tg\beta\sqrt{2(1+cos\alpha)}\)
W zad. 1. źle odczytałam kąt- to kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy, a nie, jak odczytałam- z podstawą. Zaraz poprawię.
A na przyszłość- jeśli masz odpowiedzi, to je podawaj. Wtedy od razu można się zorientować, że gdzieś tkwi błąd. Albo- można przedstawić odpowiedź tak, jak jest w książce, żeby nie było wątpliwości.
A na przyszłość- jeśli masz odpowiedzi, to je podawaj. Wtedy od razu można się zorientować, że gdzieś tkwi błąd. Albo- można przedstawić odpowiedź tak, jak jest w książce, żeby nie było wątpliwości.
1.
p- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{p\sqrt{3}}{2}=\frac{p\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\frac{p}{2}}{a}=cos\alpha\\p=2a\ cos\alpha\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{p^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{4\sqrt{3}a^2\ cos^2\alpha}{4}=a^2\sqrt{3}\ cos^2\alpha\)
\(R=\frac{2a\sqrt{3}\ cos\alpha}{3}\)
\(R^2+H^2=a^2\\H^2+\frac{4a^2\cdot3\ cos^2\alpha}{9}=a^2\\H^2=a^2-\frac{4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H^2=\frac{3a^2-4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H=\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\ a^2\sqrt{3}cos^2\alpha\cdot\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\\V=\frac{a^3\ cos^2\alpha\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{3}\)
p- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na podstawie
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{p\sqrt{3}}{2}=\frac{p\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\frac{p}{2}}{a}=cos\alpha\\p=2a\ cos\alpha\)
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{p^2\sqrt{3}}{4}\\P_p=\frac{4\sqrt{3}a^2\ cos^2\alpha}{4}=a^2\sqrt{3}\ cos^2\alpha\)
\(R=\frac{2a\sqrt{3}\ cos\alpha}{3}\)
\(R^2+H^2=a^2\\H^2+\frac{4a^2\cdot3\ cos^2\alpha}{9}=a^2\\H^2=a^2-\frac{4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H^2=\frac{3a^2-4a^2\ cos^2\alpha}{3}\\H=\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}P_p\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot\ a^2\sqrt{3}cos^2\alpha\cdot\frac{a\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}\\V=\frac{a^3\ cos^2\alpha\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{3}\)
3.
Przekątna tego graniastosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych to wysokość graniastosłupa, a druga przyprostokątna to jedna z przekątnych podstawy. Dlatego musi być, że b>a i trójkąt prostokątny dana przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną a.
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{ab}{2}\)
\(H^2+a^2=b^2\\H^2=b^2-a^2\\H=\sqrt{b^2-a^2}\)
Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=\frac{ab}{2}\cdot\sqrt{b^2-a^2}\)
Przekątna tego graniastosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym, w którym jedna z przyprostokątnych to wysokość graniastosłupa, a druga przyprostokątna to jedna z przekątnych podstawy. Dlatego musi być, że b>a i trójkąt prostokątny dana przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną a.
Pole podstawy:
\(P_p=\frac{ab}{2}\)
\(H^2+a^2=b^2\\H^2=b^2-a^2\\H=\sqrt{b^2-a^2}\)
Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=\frac{ab}{2}\cdot\sqrt{b^2-a^2}\)